Enunciado

82. Um exemplo interessante de oscilação, embora impraticável, é o movimento de um objeto que é deixado cair em um furo que atravessa a Terra de um extremo ao outro, passando pelo centro. Usando a hipótese (que não é realista) de que a Terra seja uma esfera com densidade uniforme, prove que o movimento é harmônico simples ( M H S ) e determine seu período. (Observação: A força gravitacional que atua sobre o objeto em função da distância r ao centro da Terra foi calculada no Exemplo 12.10 (Seção 12.6 ). O movimento é harmônico simples quando a aceleração a x e o deslocamento do equilíbrio x são relacionados pela Equação ( 13.8 ) , e o período é então dado por T = 2 π / ω .)

Passo 1

A força que o enunciado menciona do exemplo 12.10 é a seguinte:

F r r = - G M E m R E 3 r

Essa força que seri a nossa força elástica, onde:

k = G M E m R E 3

E

x = r

Pela equação 13.8 , temos:

a x = - ω 2 x

Mas sabemos que :

ω = k m

Substituindo temos:

a x = - k x m

Mas como falei acima a força gravitacional pode ser escrita da seguinte maneira:

F r x = - k x

Assim:

a x = F r m

Logo o movimento é harmônico simples.

Nesse problema teremos que chegar em uma fórmula para o período, não podemos ir usando a que já conhecemos, porque não sabemos o valor exato de k , mas sabemos que:

k = G M E m R E 3

Dividindo os dois lados por m :

k m = G M E R E 3

Lembrando que ω 2 = k / m , ficamos com:

ω 2 = G M E R E 3

Vamos lembrar de como é a fórmula da gravidade, é a seguinte:

g = G M E R E 2

Assim, temos que:

ω = g R E

Sabendo que T = 2 π / ω , podemos resolver nosso problema.

Passo 2

Assim, nossa fórmula para o período fica:

T = 2 π g R E

⇒ T = 2 π R E g

Lembrando que R E = 6,38 * 10 6   m , temos:

T = 2 π 6,38 * 10 6 9,8

⇒ T = 5,07 * 10 3   s

Resposta

T = 5,07 * 10 3   s

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Se a amplitude de um Oscilador Harmônico é triplicada, por que fator a energia é alterada?
Dois sistemas idênticos consistem em uma mola com uma extremidade fixada a um bloco e a outra extremidade fixada a uma parede. As molas são horizontais, e os blocos são sustentados por uma mesa horizo
Dois sistemas idênticos consistem em uma mola com uma extremidade fixada a um bloco e a outra extremidade fixada a uma parede. As molas são horizontais, e os blocos são sustentados por uma mesa horizo
Dois sistemas idênticos consistem em uma mola com uma extremidade fixada a um bloco e a outra extremidade fixada a uma parede. As molas são horizontais, e os blocos são sustentados por uma mesa horizo
Dois sistemas idênticos consistem em uma mola com uma extremidade fixada a um bloco e a outra extremidade fixada a uma parede. As molas são horizontais, e os blocos são sustentados por uma mesa horizo