Enunciado

71. Um objeto quadrado de massa m é formado de quatro varetas finas idênticas, todas de comprimento L , amarradas juntas. Esse objeto é pendurado em um gancho pelo seu canto superior (Figura 13.37 ). Se ele for girado levemente para a esquerda e depois solto, em que frequência ele irá oscilar para frente e para trás?

Passo 1

Nesse problema temos um caso de pêndulo físico, assim, também temos uma fórmula para encontrarmos a frequência, que é:

f = 1 2 π m T g d I

Vamos olhar um pouco essa fórmula, pois tem parâmetros que não são fáceis de se achar.

Temos m T que é a massa total do objeto, que é a soma da massa das quatro barras, então:

m T = 4 m

O parâmetro d é a distância do ponto onde o objeto está preso até o centro de massa do objeto que se encontra no meio do quadrado, já que a distribuição de massa é uniforme, assim:

d = L 2 2

Temos também o momento de inércia I , que teremos que usar o teorema dos eixos paralelos, que tem a seguinte expressão

I = I 0 + M d 2

Onde I 0 é momento de inércia que já conhecemos do objeto em relação a um eixo que seja paralelo em relação ao eixo no qual que queremos saber o momento de inércia.

Nesse problema, teremos que aplicar esse teorema para cada bastão, para saber o momento de inércia deles em relação ao centro de massa, sabendo de um bastão basta multiplicar por 4 que saberemos o momento do conjunto todo em relação ao centro de massa.

Quando tivermos essa informação, vamos usar o teorema acima mais uma vez em relação ao eixo onde o quadrado está preso.

Passo 2

Vamos então primeiro encontrar o momento de inércia de um dos bastões em relação ao centro de massa do quadrado, temos:

I = I 0 + M d 2

Onde I 0 é o momento em relação a um eixo que passa no meio do bastão, que é:

I 0 = 1 12 m L 2

Temos que d é a distância do eixo que passa pelo meio do bastão e o eixo que passa pelo centro de massa, assim:

d = L 2

Assim, nossa fórmula fica assim:

I = 1 12 m L 2 + m L 2 2

= 1 3 m L 2

Então os dos 4 bastões juntos é:

I = 4 1 3 m L 2

= 4 3 m L 2

Passo 3

Agora vamos usar o teorema mais uma vez para achar o momento de inércia em relação ao eixo que passa pelo ponto em que o quadrado está preso, temos então:

I = I 0 + M d 2

O d nesse caso vai ser a distância entre o eixo que passa pelo ponto em que o quadrado está preso e em relação ao centro de massa, assim:

d = L 2 2

O M é a massa das quatro barras, assim M = 4 m .

O I 0 é o momento que achamos no item anterior, então ficamos com:

I = 4 3 m L 2 + 4 m L 2 2 2

= 4 3 m L 2 + 2 m L 2

Então:

I = 10 3 m L 2

Passo 4

Agora podemos voltar a fórmula da frequência que vimos no passo 1 , temos:

f = 1 2 π m T g d I

Substituindo o que sabemos, ficamos com:

f = 1 2 π 4 m g L 2 2 10 3 m L 2

⇒ f = 1 2 π 6 5 g 2 2 L

Simplificando mais um pouco, temos:

f = 1 2 π 3 2 5 g L

⇒ f = 1 2 π 3 2 5 g L

Temos então que:

f = 0,146 g L

Resposta

f = 0,146 g L

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