Enunciado

84. Um motociclista audacioso deseja estabelecer um recorde saltando sobre ônibus escolares em chamas. Ele vem pedir a você para ajudá-lo no planejamento. Ele pretende decolar de uma plataforma horizontal a 40   m / s , atravessar voando os ônibus em chamas posicionados dentro de uma depressão no solo e aterrissar sobre outra rampa inclinada para baixo em 20 ° . É muito importante que a moto não ricocheteie ao atingir a rampa de aterrissagem, pois isso poderia fazê-lo perder o controle e cair. Você logo percebe que ele evitará o ricocheteio se sua velocidade ao final do salto for paralela à rampa de aterrissagem. Isso pode ser conseguido se a rampa for tangente à trajetória da moto e se ele aterrissar à direita da borda da rampa de aterrissagem. Não existe lugar para erro! Sua tarefa é determinar onde posicionar a rampa de aterrissagem, ou seja, a que distância horizontal da extremidade da plataforma de lançamento deve estar a parte frontal da rampa de aterrissagem e qual é a diferença de altura apropriada entre as bordas dessas duas estruturas? Em seu contrato existe uma cláusula que exige que você teste o projeto antes que o “herói” vá ao ar em rede nacional de televisão para tentar estabelecer seu recorde.

Passo 1

Tudo bem senhores!? Aqui vamos nós de novo pra mais uma questãozinha de Cinemática!

E pra resolver esse tipo de questão, já sabe né?

Como é de costume; primeiramente bora fazer um esboço pra ajudar a entender melhor o nosso problema...

De modo que obtemos então, a seguinte imagem abaixo...

Sendo que a imagem acima retrata o que a gente quer que aconteça, né!? Afinal; coitado do motociclista se ele se estabacar no meio daqueles ônibus!

E pelo que sabemos dos problemas de lançamento horizontal e movimento oblíquo e também do que lemos no enunciado, tiramos que...

x 0 = y 0 = t 0 = 0  

v 0 x = 40,0   m / s

v 0 y = 0

θ = 20 °

a x = 0

a y = - g = - 9,8   m / s ²

Onde o objetivo aqui é encontrar onde devemos posicionar a rampa para que o salto do nosso maluco seja perfeito... No caso precisamos de x 1 e y 1 !

Por isso, mãos à obra!

Passo 2

Bora pro que interessa! Chega de introdução!

Tomando ( 0 ) como o instante inicial do movimento do skatista... Pra facilitar a nossa resolução, bora dividir o movimento do motoqueiro depois que sai da plataforma horizontal, em duas partes; vertical e horizontal...

Na horizontal, em x , nosso camarada não tem aceleração influenciando seu movimento. Sendo assim, ele executa um movimento uniforme, com velocidade constante.

Olhando pra nossa figura do P a s s o   1 , ficamos então com...

x 1 = x 0 + v 0 x ( t 1 - t 0 )

E substituindo os valores numéricos de cada variável;

x 1 = 0   m + v 1 x ( t 1 - 0   s )

x 1 = ( 40,0   m / s ) t 1

Obtemos a equação que descreve a trajetória do nosso amigo segundo a direção x ...

Passo 3

Indo agora pra direção vertical, temos nessa direção a presença da aceleração da gravidade para baixo influenciando a trajetória do nosso motoqueiro.

Desse modo, peguemos a equação abaixo da posição para o movimento uniformemente variado... É claro, usando as variáveis da nossa figura, né!?

y 1 = y 0 + v 0 y t 1 - t 0 + a y 2 ( t 1 - t 0 ) 2

Esse a y é a nossa aceleração da gravidade g , com sinal negativo porque aponta para baixo...

Ficamos então, com...

y 1 = y 0 + v 0 y t 1 - t 0 - g 2 ( t 1 - t 0 ) 2

Logo; substituindo os valores conhecidos...

y 1 = y 0 + v 0 y t 1 - t 0 - g 2 ( t 1 - t 0 ) 2

y 1 = 0   m + 0   m / s t 1 - 0   s - g 2 ( t 1 - 0   s ) 2

y 1 = - 9,8   m / s ² 2 ( t 1 - 0   s ) 2

y 1 = - ( 4,9   m / s ² ) t 1 2

Obtemos a equação que descreve o movimento vertical!

E agora é so ir atrás do tempo t 1 !

Passo 4

Bora seguir em frente!

Bom! Pela figura do P a s s o   1 , podemos ver que o objetivo é que o motociclista aterrisse na rampa... Só que essa rampa faz um ângulo de 20 ° com o sentido horário!

Logo, quando ele aterrissa na rampa em ( 1 ) , a seguinte relação abaixo entre as velocidade é válida...

v 1 y v 1 x = tan ⁡ ( - 20 ° )

Se sentiu dúvida aí porque o ângulo tá negativo, é devido ao fato de que ele é obtido através da rotação em sentido horário com a horizontal... Geralmente adota-se a convenção hoária como negativa e anti-horária como positiva.

Se tá tudo ok; uma vez que a velocidade horizontal é constante ao longo de todo o movimento do nosso amigo, então...

v 1 x = v 0 x = 40,0   m / s

E desse modo, o valor de v 1 y é dado por...

v 1 y v 1 x = tan ⁡ ( - 20 ° )

v 1 y = v 1 x tan ⁡ ( - 20 ° )

v 1 y = ( 40,0   m / s ) ⋅ tan ⁡ ( - 20 ° )

v 1 y = - 14,56   m / s

Com isso, vamos recorrer a equação da velocidade em y para o movimento uniformemente variado. De acordo com os dados do nosso problema, chegamos à seguinte equação...

v 1 y = v 0 y + a y ( t 1 - t 0 )

E como queremos o tempo t 1 então bora logo substituir os valores de cada variável...

v 1 y = v 0 y + a y ( t 1 - t 0 )

- 14,56   m / s = 0   m / s - ( 9,8   m / s ² ) ( t 1 - 0   s )

( 9,8   m / s ² ) t 1 = ( 14,56   m / s )

t 1 = 14,56   m / s 9,8   m / s ²

t 1 = 1,486   s

Passo 5

Obtido o tempo total do movimento do skatista desde que ele sai rampa; para obter as posições onde a rampa deve estar, basta substituir o t 1 nas equações de movimento obtidas anteriormente...

Para o eixo x :

x 1 = ( 40,0   m / s ) t 1

x 1 = ( 40,0   m / s ) ( 1,486   s )

x 1 = 59,4   m

E depois, para o eixo y :

y 1 = - ( 4,9   m / s ² ) t 1 2

y 1 = - ( 4,9   m / s ² ) ( 1,486   s ) 2

y 1 = - 10,82   m

Pronto! Essas são as posições onde no mínimo, a rampa deve estar!

Terminamos aqui! Até a próxima!

Resposta

P o s i ç õ e s   d a   r a m p a → x 1 = 59,4   m             y 1 = - 10,82   m

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