Enunciado

85- Dois longos fios retilíneos condutores com massa específica linear λ estão suspensos por meio de cordas, de modo que eles ficam dispostos paralelamente sobre um plano horizontal e a distância entre eles é igual a d . As extremidades da direita dos fios são conectadas entre si por meio de um fio frouxo, de resistência desprezível. Um capacitor carregado (capacitância C ) é ligado ao sistema; a placa positiva do capacitor (carga inicial + Q 0 ) está conectada a extremidade da esquerda de um dos fios e a placa negativa do capacitor (carga - Q 0 ) está conectada a extremidade da esquerda do outro fio (Figura 28.66 ).

Ambas as conexões são feitas mediante fios frouxos com resistências desprezíveis. Quando a conexão é estabelecida, os fios são repelidos lateralmente pela ação das forças magnéticas repulsivas das correntes de sentidos contrários, e cada fio adquire uma velocidade inicial v 0 . Suponha que o tempo de descarga do capacitor seja desprezível em relação ao tempo do deslocamento dos fios:

( a ) Mostre que a velocidade inicial dos fios é dada por

v 0 = μ 0 Q 0 2 4 π λ R C d

Em que R é a resistência total do circuito

( b ) Que altura h cada fio atingirá depois que a conexão for estabelecida?

Passo 1

Bem, nos é dito que os fios sofrem forças de repulsão, isso é causado pela força magnética que é causada pela corrente oposta que passa sofre esses dois fios. Essa força por comprimento de fio pelos dados da questão é igual a:

F L = μ 0 I 2 2 π d

Onde a corrente de descarga em R M S de um capacitor em rápida descarga pode ser escrito como:

I = I 0 2

Então:

F L = μ 0 I 0 2 4 π d

Supondo que a tensão no circuito é de V e a resistência no circuito todo é R teremos:

F L = μ 0 4 π d   V R 2    

E a tensão é a tensão aplicada em cima do capacitor, o que nos dá Q = C V → V = Q C , então:

F L = μ 0 4 π d   Q 0 R C 2

Passo 2

Agora temos que linkar essa força magnética com a velocidade inicial e para isso temos que fazer:

F L = m a L

Onde a densidade linear ( m / L ) é igual a λ , então a aceleração desses dois fios serão iguais a:

λ a = μ 0 4 π d   Q 0 R C 2

a = μ 0 4 π λ d   Q 0 R C 2

Considerando que a aceleração é uniforme para o deslocamento desse fio (que é unicamente para a horizontal, sem influência da gravidade). Então a velocidade inicial será dada por:

v 0 = a t

Se aproximarmos o tempo para termos o valor de R M S para t = τ = R C nós teremos:

v 0 = a R V = μ 0 4 π λ d   Q 0 R C 2 R C = μ 0 Q 0 2 4 π λ R C

Por isso que ela é uma questão desafiadora, pois uma vez que o tempo de descarga é desprezível nós temos que saber aproximar certas variáveis.

Passo 3

Após dada essa velocidade inicial em cada fio, os dois fios agirão como um pêndulo, fazendo com que seja possível dizer que há a conservação da energia cinética em energia potência de forma que temos:

m v 0 2 2 = m g h

h = v 0 2 2 g = μ 0 Q 0 2 4 π λ R C 2 2 g = 1 2 g μ 0 Q 0 2 4 π λ R C 2

E é isso ai! Essa letra b nem é tão desafiadora assim como a letra a .

Resposta

b ) h = 1 2 g μ 0 Q 0 2 4 π λ R C 2  

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