Enunciado

90. T. rex. Considere a perna do T. rex do Exemplo 13.10 (Seção 13.6 ) duas barras uniformes, ambas com 1,55   m de comprimento, com uma extremidade fixa rigidamente à outra. Suponha que a barra inferior possua uma massa M e a barra superior tenha uma massa igual a 2 M . O conjunto gira ao redor do topo da barra superior. Calcule a oscilação desse conjunto para oscilações de pequena amplitude. Compare os seus resultados com os do Exemplo 13.10 .

Passo 1

O que o enunciado quer, falando de forma clara, é o período de oscilação do movimento, nesse caso temos como problema um pêndulo físico e a fórmula do período para esse caso é:

T = 2 π I m g d

Onde I é momento de inércia do conjunto que é dado pela soma dos momentos de inercia das duas barras e d é a distância do eixo onde as barras estão presas até o centro ne massa.

Para o momento de inércia, temos:

I = I 1 + I 2

Onde I 1 é o momento da barra mais pesada e I 2 é o da outra, esses momentos de inércia devem ser em relação ao eixo que passa pelo ponto onde elas estão presas, assim o momento I 1 é fácil de achar já que a barra maior é que está logo abaixo do ponto onde elas estão presas, assim:

I 1 = 1 3 ( 2 M ) L 2

Agora para I 2 teremos que usar o teorema dos eixos paralelos, já que só conhecemos com facilidade o momento de inércia da segunda barra em relação a um eixo passando pelo centro de massa, assim:

I 2 = I 0 + M R 2

Onde I 0 é o momento que conhecemos e R é a distância entre os eixos, então temos que:

I 0 = 1 12 M L 2

R = 1,55 + 1,55 2 = 2,325

Agora para achar d , vamos ter que saber a posição do centro de massa na direção y , para isso temos uma fórmula para encontrar a posição do centro de massa em uma determinada direção, que é:

y C M = ∑ m i y i ∑ m i

Abrindo essa fórmula para o nosso caso, temos:

y C M = m 1 y 1 + m 2 y 2 m 1 + m 2

= 2 M 1,55 2 + M 1,55 + 1,55 2 3 M

⇒ y C M = 1,292   m

Então, temos que d = y C M = 1,292 .

Passo 2

Agora vamos encontrar o momento de inércia total, temos que:

I = I 1 + I 2

Para I 1 , temos:

I 1 = 1 3 ( 2 M ) L 2

Onde L = 1,55 , assim:

I 1 = 1,60 M

E para I 2 , temos:

I 2 = I 0 + M R 2

Substituindo o que sabemos, temos;

I 2 = 1 12 M ( 1,55 ) 2 + M ( 2,325 ) 2

⇒ I 2 = 5,60 M

Assim, ficamos com:

I = 1,60 M + 5,60 M = 7,2 M

Passo 3

Agora podemos usar a fórmula do período, temos:

T = 2 π I m g d

Substituindo os valores que conhecemos, temos:

T = 2 π 7,2 M 3 M ( 9,8 ) ( 1,292 )

⇒ T = 2 π 7,2 37,9848

Assim, temos que:

T = 2,73   s

Resposta

T = 2,73   s

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