Enunciado

91- Uma trajetória cicloidal. Uma partícula de massa m e carga positiva q parte do repouso na origem na Figura 27.76 . Existe um campo elétrico uniforme E → no sentido + y e um campo magnético uniforme B → saindo da página. Demonstra-se em livros mais avançados que a trajetória descrita é uma cicloide, cujo raio de curvatura nos pontos do topo da curva é igual ao dobro da coordenada y desses pontos.

( a ) Explique a razão desse tipo de trajetória e o motivo da repetição do movimento.

( b ) Prove que a velocidade em qualquer ponto é dada por 2 q E y / m   . (Sugestão: use conservação da energia).

( c ) Aplicando a segunda Lei de Newton no ponto do topo da trajetória e levando em conta a informação de que nesse ponto o raio de curvatura é igual a 2 y , prove que a velocidade nesse ponto é igual a 2 E / B .

Passo 1

O campo elétrico tende a puxar a partícula na direção positiva de y , fazendo com que ela ganhe aceleração para a direita(pela força magnética) e para cima, com isso a força magnética tende a mover a carga para acelerar a carga para direita e o campo elétrico para mover a partícula para cima.

Porém como a partícula começa a mover-se para a direita também cria-se uma força magnética para baixo que se opõe com a força elétrica e a velocidade na horizontal e na vertical terão o mesmo valor por conta disso.

E a medida que a partícula acelera para cima com o campo elétrico nós teremos o crescimento da força magnética para baixo, fazendo com que a força magnética que aponta para baixo cresça a ponto de ser maior que a força elétrica (no ponto mais alto da partícula), acelerando a partícula para baixo (mantendo a velocidade da partícula para a direita, mesmo que haja outra parcela que puxe a carga para a esquerda, que é mais fraca). Então quando y = 0 a força magnética cessa e o campo elétrico faz com que a partícula volte a ter o mesmo comportamento.

Passo 2

O trabalho que a partícula faz no seu trajeto é o mesmo que a sua energia cinética, uma vez que qualquer ganho de energia potencial possa ser desconsiderada aqui, então:

F d = m v 2 2

Como o trabalho é inteiramente causado pela força elétrica fazendo com que a partícula percorra uma distância y então:

q E y = m v 2 2

v 2 = 2 q E y m

v = 2 q E y m

Passo 3

No ponto máximo da trajetória temos a seguinte situação:

Onde a força magnética se opõe a força elétrica, mudando a aceleração da partida , então no topo da trajetória temos ação da força centrípeta da partícula que tende a apontar a força para baixo (na direção da força magnética) nos dando a seguinte conta:

F m - F e = m v 2 R

Como R = 2 y então:

q v B - q E = m v 2 2 y

Substituindo v 2 = 2 q E y m teremos:

q v B - q E = m 2 y   2 q E y m

v B - E = E

v B = 2 E

v = 2 E B

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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