Lista de Exercícios Resolvidos de Lei de Biot-Savart Geral

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Considere o circuito da figura abaixo, constituído por segmentos retilíneos (I, III, V e VI) e segmentos de arco de círculos (II, IV e VII) concêntricos com o ponto C , percorridos por uma corrente estacionária I , com sentido assinalado. Indique quais de tais segmentos dão uma contribuição não nula para o campo magnético resultante no ponto C .

  1. II, III, IV, V e VII
  2. I, III, V e VI
  3. II, IV e VII
  4. I, II, IV, VI e VII
  5. Todos criam campo magnético não nulo em C

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Mostre que o módulo do campo magnético produzido no centro de uma espira retangular de comprimento L e largura W , percorrida por uma corrente i é dado por:

B = 2 μ 0 i π L 2 + W 2 1 / 2 L W

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Determine o módulo do campo magnético de um fio retilíneo de comprimento l , por onde passa uma corrente i , num ponto P situado a uma distância y do fio. Dê a resposta em função dos ângulos θ 1 e θ 2 formados entre a normal ao fio baixada do ponto P e pelas retas que unem o ponto P com as extremidades do fio considerado.

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O fio que aparece na figura abaixo é percorrido por uma corrente i . Qual é o valor da contribuição para o campo magnético no centro C da semicircunferência devido

(a) a cada segmento retilíneo de comprimento l ;

(b) à semicircunferência de raio R ; e

(c) a todo fio?

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Considere a espira da figura formada pelo arco B C de circunferência centrado em O e raio O B = a , pelo segmento A B de comprimento a / 2 sobre o eixo x e pelo segmento A C paralelo ao eixo y . A espira é percorrida por uma corrente de intensidade I com sentido mostrado na figura (anti-horário).

Nestas condições, utilizando explicitamente a Lei de Biot-Savart e justificando as suas afirmações, determine:

(a) O campo magnético B 1 (módulo, direção e sentido) na origem O devido ao segmento A C .

(b) O campo magnético B 2 (módulo, direção e sentido) na origem O devido ao segmento A B .

(c) O campo magnético B 3 (módulo, direção e sentido) na origem O devido ao arco B C .

(d) O campo magnético total B T (módulo, direção e sentido) na origem O .

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Uma corrente estacionária, de intensidade I , flui ao longo de um segmento retilíneo que se divide, igualmente, em quatro meridianos de uma esfera de raio a , perpendiculares (dois a dois) entre si, e reencontrando-se num outro segmento retilíneo. Qual é o módulo do campo magnético no centro P da esfera?

  1. μ 0 i a
  2. μ 0 i 2 a
  3. 0
  4. μ 0 i 4 a
  5. 3 μ 0 i 2 a

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Dois fios muito longos são percorridos por correntes elétricas estacionárias de mesma intensidade. Cada um de tais fios é constituído por dois segmentos retilíneos (muito longos) e por um arco circular intermediário (com abertura de 90 º ); os raios de tais arcos são tais que R I I > R V . Qual dos segmentos dá maior contribuição para o campo magnético resultante B → C no ponto central C ?

  1. II
  2. V
  3. I e III
  4. IV e VI
  5. Todos contribuem igualmente para B → ( C ) .

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Calcule o campo magnético no ponto P devido ao circuito com corrente estacionária de intensidade I .

  1. - μ 0 I 4 1 a - 1 b z ^
  2. μ 0 I 4 1 a - 1 b z ^
  3. - μ 0 I 2 1 a - 1 b z ^
  4. μ 0 I 2 1 a - 1 b z ^
  5. - μ 0 I 2 π 1 a - 1 b z ^
  6. μ 0 I 2 π 1 a - 1 b z ^
  7. - μ 0 I 4 π 1 a - 1 b z ^
  8. μ 0 I 4 π 1 a - 1 b z ^

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A Fig. 1 mostra um segmento retilíneo de comprimento L de um fio que conduz corrente i no sentido + z . O centro do segmento está na origem. Um ponto P está sobre o eixo y à distância d da origem.

a ) Mostre, utilizando explicitamente, a lei de Biot-Savart, que o vetor campo magnético em P devido a todo o segmento é dado por:

B → = μ 0 i 4 π d L L 2 4 + d 2 - x ^

Considere agora a Fig. 2 que mostra um ponto P à distância d de um fio infinito com corrente i . O módulo do campo magnético devido ao fio infinito no ponto P é dado por B 0 = μ 0 i 2 π d . A figura mostra também um segmento retilíneo com corrente i S antiparalela a i . O segmento tem comprimento L = d e está simetricamente disposto em relação ao ponto P e dista d / 2 dele.

b ) Quanto deve valer a corrente i S para que o módulo do campo total em P seja 3 B 0 ?

Considere agora a Fig. 3 que mostra uma espira quadrada de lado d que conduz uma corrente de valor i . A espira é centrada em P .

c ) Utilizando o resultado do item ( a ) , calcule o módulo do campo magnético em P em função de μ 0 , d e i . A corrente i deve circular na espira no sentido horário ou anti-horário para que o campo em P tenha sentido saindo da página?

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O circuito da figura é formado por dois arcos de círculo de raios R e 2 R e dois fios retilíneos de comprimento R . Cada arco forma um setor de ângulo igual a π . O circuito é percorrido por uma corrente de intensidade I no sentido indicado. Calcule, justificando:

a ) As contribuições B → 1 e B → 2 dos segmentos retilíneos, e

b ) As contribuições B → 3   e B → 4 dos arcos de raio R e 2 R

para o campo magnético (módulo, direção e sentido) na origem O dos eixos X Y Z , que corresponde ao centro dos dois arcos de círculo.

Considere agora que o arco de raio R gire de 180 ° em torno do eixo X   ( X   = eixo de rotação).

c ) Calcule os novos campos magnéticos B → 1 ; B → 2 ; B → 3 e B → 4

Enfim, o circuito da figura acima é girado de um ângulo θ , conforme indica a Figura abaixo:

d ) Calcule os novos campos magnéticos B → 1 ; B → 2 ; B → 3 e B → 4 .

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Um fio retilíneo de comprimento L é percorrido por uma corrente I como mostrado na figura ao lado (o sentido da corrente está indicado no desenho). O fio repousa sobre o eixo z e suas extremidades estão nas coordenadas x ,   y ,   z = ( 0,0 ,   ± L / 2 ) .

a ) A partir da lei de Biot-Savart, encontre o vetor campo magnético no ponto P mostrado na figura cuja coordenada é ( 0 , d , 0 ) . (Considere μ 0 = 4 π   .   10 - 7   T   m / A )

b ) Partindo do resultado do item anterior, encontre o campo magnético para um fio muito longo ( L ≫ d ) .

Considere agora dois fios retilíneos muitos longos paralelos percorridos por correntes I 1 e   I 2 saindo e entrando no papel, respectivamente.

c ) A partir do campo magnético encontrado no item ( b ) , encontre o campo magnético resultante no ponto A mostrado na figura.

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A figura mostra dois fios condutores de corrente. A corrente no fio 1 tem o sentido positivo do eixo y ( + j ^ ) e a corrente no fio 2 tem o sentido positivo do eixo x ( + i ^ ) . Com esta escolha de sistemas de coordenadas, o sentido positivo do eixo z é para fora do papel. As corrente nos fios 1 e 2 são iguais a i .

Utilizando explicitamente a lei de Biot-Savart:

a ) Calcule o campo magnético B → I I ( P 1 ) gerado no ponto P 1 pela corrente no fio 2 .

b ) Calcule o campo magnético B → I ( P 2 ) gerado no ponto P 2 pela corrente no fio 1

c ) Calcule o campo magnético total B → ( P 3 ) gerado no ponto P 3 pelas correntes dos fios 1 e 2 .

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Uma espira com corrente de intensidade I = 3 A tem a forma de dois arcos de circunferência concêntricos unidos por segmentos retilíneos. O arco de menor raio a = π   c m subentende um ângulo α = 2 π / 3   r a d , e o raio do outro arco é b = 2 π   c m . Os dois segmentos retilíneos são radiais em relação ao centro C da espira.

Adote o valor μ 0 = 4 π × 10 - 7   T m / A .

a ) Usando a Lei de Biot-Savart e adotando o sistema de coordenadas da figura, calcule cada uma das contribuições para o vetor campo magnético gerado pela espira em seu centro C :

i contribuição B → 1 dos segmentos retilíneos;

i i contribuição B → 2 do arco menor;

( i i i ) contribuição B → 3 do arco maior;

( i v ) o vetor campo magnético total B → T gerado pela espira em C .

b ) Sabendo que um campo magnético externo uniforme e muito intenso, dado por B → = 0,4   T   x ^ , está presente em toda a região da espira, calcule o vetor torque sobre a espira.

(Nota: use a aproximação π ≅ 3 ).

c ) Considere agora uma nova situação na qual o campo magnético total em C seja dado por B → = - 0,005   T z ^ , e que uma partícula de carga negativa de módulo 5   μ C passa por C com velocidade v → = 3 × 10 4   m / s x ^ . Calcule o vetor força magnética sobre a partícula.

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Calcule o campo magnético no ponto P devido ao circuito com corrente estacionária de intensidade I .

  1. - μ 0 I 4 1 a - 1 b z ^
  2. μ 0 I 4 1 a - 1 b z ^
  3. - μ 0 I 2 1 a - 1 b z ^
  4. μ 0 I 2 1 a - 1 b z ^
  5. - μ 0 I 2 π 1 a - 1 b z ^
  6. μ 0 I 2 π 1 a - 1 b z ^
  7. - μ 0 I 4 π 1 a - 1 b z ^
  8. μ 0 I 4 π 1 a - 1 b z ^

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Dois fios muito longos são percorridos por correntes elétricas estacionárias de mesma intensidade. Cada um de tais fios é constituído por dois segmentos retilíneos (muito longos) e por um arco circular intermediário (com abertura de 90 º ); os raios de tais arcos são tai que R I I > R V . Qual dos segmentos dá maior contribuição para o campo magnético resultante B → C no ponto central C ?

  1. II
  2. V
  3. I e III
  4. IV e VI
  5. Todos contribuem igualmente para B → ( C ) .

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Uma corrente estacionária, de intensidade I , flui ao longo de um segmento retilíneo que se divide, igualmente, em quatro meridianos de uma esfera de raio a , perpendiculares (dois a dois) entre si, e reencontrando-se num outro segmento retilíneo. Qual é o módulo do campo magnético no centro P da esfera?

  1. μ 0 i a
  2. μ 0 i 2 a
  3. 0
  4. μ 0 i 4 a
  5. 3 μ 0 i 2 a

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Uma corrente estacionária percorre o circuito condutor abaixo. Qual é o módulo do campo magnético no ponto P ?

  1. 17 μ 0 I θ 24 π a
  2. 0
  3. 7 μ 0 I 12 a
  4. 17 μ 0 I 12 a
  5. μ 0 I θ 12 π a
  6. 7 μ 0 I θ 24 π a

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Considere uma espira quadrada de lado 2 a percorrida por uma corrente estacionária I no sentido anti-horário, e sujeita a um campo magnético externo estacionário e uniforme B → 0 = B 0 x ^ . A espira se encontra no plano X Y , conforme a figura.

a Calcule as forças F → 1 sobre o lado horizontal superior do quadrado e F → 2 sobre o lado vertical à direita do quadrado, exercidas pelo campo magnético externo.

b Determine o momento de dipolo magnético μ → associado à espira e calcule o vetor torque τ → que o campo externo B → 0 exerce sobre a mesma.

c Determine o campo magnético B → produzido pela espira no seu centro P = 0 ,   a ,   0 .

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Um circuito é formado por duas semicircunferências de raios a e b , como é mostrado na figura abaixo.

O vetor campo magnético B → produzido pelas correntes do fio no ponto P é dado por:

a B → = μ 0 I 4 1 a - 1 b - y ^

b B → = μ 0 I 4 1 a - 1 b z ^

c B → = μ 0 I 4 π 1 a - 1 b z ^

d B → = μ 0 I 4 1 a - 1 b y ^

e B → = μ 0 I 4 1 a - 1 b - z ^

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Uma espira condutora quadrada de lado a transporta uma corrente estacionária de intensidade I . Sobre o campo magnético produzido por essa espira, é CORRETO afirmar que:

  1. O campo magnético no centro da espira é nulo.
  2. O fluxo do campo magnético através da superfície plana definida pela área da espira é nulo.
  3. O campo magnético tem o mesmo módulo em todos os pontos sobre o eixo perpendicular ao plano da espira e que passa por seu centro.
  4. O módulo do campo magnético no centro da espira não depende do tamanho da mesma.
  5. Em pontos sobre o plano da espira, o campo magnético é perpendicular a este plano.

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Qual(is) afirmação(ões) é(são) correta(s) a respeito de forças e campos?

  1. As linhas de campo magnético de um fio com corrente saem radialmente.
  2. A energia cinética de uma partícula carregada pode ser aumentada pela ação de uma força magnética.
  3. Uma partícula carregada pode ser mover através de um campo magnético sem sentir uma força magnética.
  1. Somente III;
  2. Somente II;
  3. II e III;
  4. I e II;
  5. Nenhuma delas;

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Um fio infinitamente longo transportando uma corrente i é dobrado conforme a figura, sendo que a parte semicircular está contida no plano y z .

Calcule no ponto O :

a ) O vetor campo magnético devido às partes retas do fio;

b ) O vetor campo magnético devido à espira semicircular;

c ) O campo magnético total;

d ) A força que atua sobre uma carga q 0 com velocidade v → = v 0 x ^ no ponto O ;

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A figura abaixo é composta por um fio, perpendicular ao plano da página, por onde passa uma corrente i 0 e por uma espira, no plano da página, com dois arcos de circunferência de raio a = 15,0   c m e b = 10,0   c m compreendidos entre um ângulo de 60 ° .

Pela espira passa uma corrente de 0,411   A e o centro da mesma coincide com o fio no ponto P .

Determine:

a ) O vetor momento de dipolo magnético da espira;

b ) O vetor campo magnético no ponto P ;

c ) O torque que o campo do fio produz sobre a espira;

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Uma corrente estacionária de intensidade I percorre um circuito condutor que se encontra no plano X Y de um sistema de coordenadas, como mostrado na figura abaixo. Esse circuito é formado por 3 arcos de circunferência idênticos de raio a e ângulo central de 30 ˚ , por outros 3 arcos de circunferência idênticos, de raio b ( b > a ) e por segmentos de reta radiais que conectam os arcos, como indicado. Nessa situação, o campo magnético gerado por esse circuito no ponto O vale:

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Um anel fino de raio R , carregado com densidade linear de carga λ > 0 , gira em torno de um eixo z que passa pelo centro com uma velocidade angular ω → = ω k → , conforme a figura.

Atua na região um campo magnético externo homogêneo B → = B i → .

  1. Calcule a corrente i associada ao movimento do anel em função de λ , ω e R . Qual é o sentido da corrente?
  2. Calcule o vetor torque que o campo externo B → exerce sobre o anel.
  3. Calcule o campo magnético B → O produzido pelo anel no seu centro.

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Na figura estão representados um fio muito longo percorrido por uma corrente i 1 e uma espira circular de raio R , percorrida pela corrente i 2 , ambos num mesmo plano e um tangenciando o outro, conforme a figura. Qual é o valor da razão i 1 / i 2 para que o campo magnético resultante no centro C da espira seja nulo)

  1. 1 / 2
  2. 1 / π
  3. 2
  4. π
  5. 2 / π

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Considere o circuito da figura abaixo, composto por dois lados retilíneos e dois arcos de círculo, ambos definidos por um ângulo θ .

O menor arco está a uma distância a do ponto P e o maior a uma distância b do mesmo ponto P . O circuito é percorrido por uma corrente I no sentido anti-horário.

Assinale a opção que especifica corretamente o vetor campo magnético resultante em P .

a μ 0 I θ   ( b - a ) / ( 2 π a b ) , perpendicular ao plano da página e entrando na página.

b μ 0 I θ   ( b - a ) / ( 4 π a b ) , perpendicular ao plano da página e entrando na página.

c μ 0 I θ   ( a + b ) / ( 2 π a b ) , perpendicular ao plano da página e entrando na página.

d μ 0 I θ   ( a + b ) / ( 4 π a b ) , perpendicular ao plano da página e saindo da página.

e μ 0 I θ   ( b - a ) / ( 2 a b ) , perpendicular ao plano da página e saindo da página.

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A figura abaixo mostra trechos de um fio condutor reto e uma fita condutora de comprimentos 2 c e L , respectivamente. A fita possui largura b e sua espessura pode ser desconsiderada. Correntes I 1 e I 2 percorrem o fio e a fita, respectivamente. A densidade linear de corrente na fita é uniforme ( J → = I 2 b ) x ^ .

  1. Usando a Lei de Biot-Savart, calcule o vetor campo magnético B → produzido pelo fio num ponto situado ao longo do eixo y .
  2. Considerando que agora o fio é infinito, c →   ∞ , e a fita é infinita ao longo da direção x , calcule o vetor força por unidade de comprimento L produzida pelo fio sobre a fita.

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O fio condutor fino mostrado na figura abaixo é formado por dois trechos retilíneos e

semi-infinitos, paralelos ao eixo Z   de um sistema de coordenadas, unidos por um trecho semicircular de raio R   contido no plano X Y e centrado na origem. Este fio transporta uma corrente estacionária de intensidade I , no sentido indicado na figura. Nessa situação, determine, justificando cuidadosamente todo o desenvolvimento:

(a) O vetor campo magnético resultante produzido pelos dois trechos retilíneos na origem.

(b) O vetor campo magnético produzido pelo trecho semicircular na origem.

(c) O vetor campo magnético resultante produzido pelo fio na origem e o módulo deste campo.

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Considere a figura a seguir, em que um arco de meia circunferência de raio R porta uma corrente i no sentido horário e a origem do sistema de coordenadas coincide com o centro do arco. ( μ 0 = 4 π × 10 - 7   T m / A )

(a) Usando explicitamente a lei de Biot-Savart, calcule o vetor campo magnético B (módulo, direção e sentido) produzido pelo arco na origem.

Sabemos que um fio retilíneo infinito que transporta uma corrente I produz um campo magnético, a uma distância d do fio, cujo módulo é dado por B F I O = μ 0 I 2 π d .

(b) Considere que o campo produzido na origem pelo arco da figura seja dado por B → A R C O = 1 × 10 - 4 T ( z ^ ) .

Deseja-se posicionar um fio retilíneo infinito paralelo ao eixo y de modo a anular o campo resultante na origem. Se o fio retilíneo porta uma corrente de I = 30 A no sentido - y , calcule a coordenada x (incluindo o sinal) onde o fio deve ser posicionado.

(c) Partindo agora de uma situação em que o campo resultante é nulo na origem, encontre os dois únicos modos de posicionar um novo fio retilíneo de maneira a que o novo campo resultante possua somente componente - x . (Ou seja, encontre ao longo de qual direção e sentido deve estar a corrente do fio, e em que região do espaço ele deve ser posicionado).

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3 . Considere a espira condutora mostrada na figura abaixo. Ela é formada pela junção de dois trechos semicirculares de raios a e b > a com dois trechos retilíneos e conduz uma corrente estacionária de intensidade I no sentido indicado.

( b ) Deduza, em detalhe, uma expressão para o vetor campo magnético produzido pela espira

no ponto O , que corresponde ao centro comum dos trechos semicirculares.

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A figura mostra três circuitos formados por dois segmentos radiais e dois arcos de circunferência concêntricos, um de raio r e outro de raio R > r . A corrente é a mesma nos três circuitos e o ângulos entre os dois segmentos radiais é o mesmo. Colocando os circuitos na ordem do módulo decrescente do campo magnético no centro dos arcos (marcado na figura por um ponto), obtemos

a) B a > B c > B b .

b) B b > B a > B c .

c) B b > B c > B a .

d) B c > B a > B b .

e) nenhuma das respostas está correta.

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a) Um fio de comprimento infinito e raio desprezível transporta uma corrente i . Utilize a lei de Biot-Savart e calcule o campo magnético a uma distância r do fio.

b) Um fio, de raio desprezível, e que transporta uma corrente i é configurado na forma de uma espira circular de raio a . Utilize a lei de Biot-Savart e calcule o campo magnético no centro da espira.

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Os dois fios retos, infinitos e paralelos ao eixo z têm raios a. Seus eixos, contidos no plano x z   e também paralelos ao eixo   z , estão afastados d e   b   ( a   <   b / 2 ) , conforme mostra a Figura. São percorridos por correntes iguais, uniformemente distribuídas nos seus interiores com densidade   J o   ( A / m 2 ) , no sentido + z . Determine o vetor campo magnético nos pontos:

  1. P 1 de coordenada ( 0 , d , 0 ) .
  2. P 2 de coordenada ( b 2 ,   - a 2 ,   0 ) .
  3. Em seguida, suponha que as correntes totais estejam concentradas nos respectivos eixos e determine:

  4. O vetor força (por unidade de comprimento) exercida pelo fio da esquerda sobre o fio da direita, de J 0 ,   a ,   b .

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Um fio reto, infinito e oco (de raio interno a e externo b ) centrado no eixo z tem a seção transversal (no plano   x y ) mostrada na Figura. Este fio é percorrido por corrente com densidade   J ( r )   =   J o   r a n ( A / m 2 )   no sentido + z , onde n   ≥   1 . Determine:

  1. A corrente total em seção transversal arbitrária do fio.
  2. O vetor do campo magnético em um ponto arbitrário cuja distância ao eixo é r   ( r < a )
  3. O vetor do campo magnético em um ponto arbitrário cuja distância ao eixo é r   ( a < r < b )
  4. O vetor do campo magnético em um ponto arbitrário cuja distância ao eixo é r   ( b < r )
  5. O valor de ∮ B → ⋅ d l →   ao longo do contorno orientado C mostrado na figura, formado por duas radiais de comprimento R e um quadrante de círculo de mesmo raio.

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Na figura abaixo temos dois fios retilíneos semi-infinitos A B e C D , conectados a um fio curvo B C que é um segment circular de raio R e abertura angular θ . Todos os fios pertencem ao plano da página e são percorridos por uma corrente elétrica constant i