Enunciado

9.10P O disco visto na Figura 9.18 gira com velocidade ω 0 em torno do eixo vertical de simetria. Uma lança, caindo na vertical, crava-se à distância a do eixo e rotação. Para quanto cai a velocidade angular do disco?

Passo 1

Belezoca galerinha, a figura mostrada pra gente é:

E a malandragem aqui é que podemos lembrar que o momento angular é uma grandeza conservativa, tal que o momento angular inicial tem que ser igual ao momento angular final:

L 0 = L 1

Dessa forma, o momento angular inicial é dado pela velocidade angular ω 0 apenas do disco, tal que:

L 0 = I ω 0

E como o momento de inércia I do disco, de acordo com nossa tabela, é:

I = M R 2 2

Logo, o momento angular inicial será:

L 0 = M R 2 2 ω 0

Passo 2

Já no instante final, o momento de inércia será alterado já que agora não estamos tratando apenas do disco e sim do sistema disco-lança. Dessa forma, o momento angular final será:

L 1 = I f ω 1

Onde o momento de inércia final I f será a soma do momento do momento de inércia do disco com o momento de inércia da lança. Tal que:

I f = M R 2 2 + m a ²

Dessa maneira o momento angular final é:

L 1 = M R 2 2 + m a 2 ω 1

Passo 3

Portanto, igualando os momentos angulares, obtemos que a velocidade angular final é:

M R 2 2 + m a 2 ω 1 = M R 2 2 ω 0

ω 1 = M R 2 2 M R 2 2 + m a 2 ω 0

ω 1 = M R 2 M R 2 + 2 m a 2 ω 0

Resposta

ω 1 = M R 2 M R 2 + 2 m a 2 ω 0

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