Enunciado

Ache o movimento resultante de dois movimentos harmônicos simples na mesma direção dados por: x 1 = cos ⁡ ω t - π 6 , x 2 = sen ⁡ ω t . Represente graficamente os respectivos vetores girantes.

Passo 1

Vamos começar escrevendo as duas funções como cossenos. Para isso é só lembrar da seguinte propriedade:

sen ⁡ x = cos ⁡ x - π 2

Então:

x 1 = cos ⁡ ω t - π 6 x 2 = sen ⁡ ω t = cos ⁡ ω t - π 2

O que essas equações dizem? Que nós podemos pensar nesses deslocamentos como as componentes horizontais de dois vetores girantes (fasores) com frequência ω e amplitude 1 .

Dê uma olhada no desenho:

E o vetor resultante x ( t ) é a soma vetorial de x 1 e x 2 .

Passo 2

As amplitudes de x 1 e x 2 são:

A 1 = A 2 = 1

Então, usando a fórmula para a soma de fasores:

A 2 = A 1 2 + A 2 2 - 2 A 1 A 2 cos ⁡ 120 °

A 2 = 1 + 1 - 2 1 1 cos ⁡ 120 ° = 3

A = 3

Então até agora temos a seguinte expressão para o deslocamento resultante:

x t = 3 cos ⁡ ω t + ϕ

Falta determinar a fase.

Passo 3

Para encontrar a fase só precisamos determinar o ângulo que o vetor forma com o eixo horizontal no instante inicial.

Vamos destacar um triângulo naquele mesmo desenho do passo anterior:

Esse triângulo é isósceles, porque os dois lados que formam o ângulo de 120 ° são iguais:

A 1 = A 2 = 1

Isso quer dizer que os dois outros ângulos α do triângulo são iguais:

120 ° + α + α = 180 °         ⇒         α = 30 °

E então o ângulo que o vetor resultante forma com a horizontal é:

ϕ = - 30 ° - 30 ° = - 60 ° = - π 3

Então a função que estávamos procurando é:

x t = 3 cos ⁡ ω t - π 3

Resposta

O movimento resultante é x t = 3 cos ⁡ ω t - π 3 .

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