Enunciado

Uma pessoa está segurando uma extremidade A de uma mola de massa desprezível e constante elástica 80   N / m . Na outra extremidade B , há uma massa de 0,5   k g suspensa, inicialmente em equilíbrio. No instante t = 0 , a pessoa começa a sacudir a extremidade A , fazendo-a oscilar harmonicamente com amplitude de 5   c m e período de 1   s . (a) Calcule o deslocamente z da massa em relação à posição de equilíbrio, para t > 0 . (b) Calcule a força total F t exercida sobre a extremidade A para t > 0 .

Passo 1

(a) Vamos começar montando uma equação diferencial que descreva a força que a mola exerce sobre a mola:

∑ F = m z ¨ = m g - k Δ z

Onde Δ z é a distorção da mola. Como as duas pontas estão em movimento, temos que considerar a distância entre as duas extremidades.

Se o movimento produzido pela mão na extremidade A é uma oscilação harmônica com amplitude A e frequência angular ω , então:

z A = A sen ⁡ ω t

Δ z = z - z A

Então:

m z ¨ = m g - k z - A sen ⁡ ω t

m z ¨ = m g + k A sen ⁡ ω t - z

E definindo ω 0 2 = k / m :

z ¨ + ω 0 2 z = g + ω 0 2 A sen ⁡ ω t

Passo 2

Essa é uma EDO inomogênea, então sua solução geral vai ser da seguinte forma:

z t = z h t + z p t

Onde z h t é a solução da equação homogênea e z p t é a solução particular. Vamos começar com a solução da homogênea:

z ¨ + ω 0 2 z = 0

Essa é a equação de um oscilador harmônico simples, e a solução já é bem conhecida:

z h t = a cos ⁡ ω 0 t + b sen ⁡ ω 0 t  

E agora, para encontrar a solução particular, vamos olhar para essa equação:

z ¨ + ω 0 2 z = g + ω 0 2 A sen ⁡ ω t

O efeito da aceleração da gravidade é simplesmente de deslocar o equilíbrio mais para baixo.

Como queremos apenas as oscilações em torno do ponto de equilíbrio, podemos desconsiderar g sem grandes problemas:

z ¨ + ω 0 2 z = ω 0 2 A sen ⁡ ω t

E então vamos chutar uma solução da seguinte forma:

z = C sen ⁡ ω t

- C ω 2 sen ⁡ ω t + ω 0 2 C sen ⁡ ω t = ω 0 2 A sen ⁡ ω t

C = ω 0 2 ω 0 2 - ω 2 A

Então nossa solução geral é:

z t = z h t + z p t

z t = a cos ⁡ ω 0 t + b sen ⁡ ω 0 t   + ω 0 2 ω 0 2 - ω 2 A sen ⁡ ω t

Passo 3

Agora vamos aplicar as condições iniciais, começando por z 0 = 0 :

z 0 = a cos ⁡ 0 + b sen ⁡ 0   + ω 0 2 ω 0 2 - ω 2 A sen ⁡ 0

z 0 = a = 0

Então:

z t = b sen ⁡ ω 0 t   + ω 0 2 ω 0 2 - ω 2 A sen ⁡ ω t

A outra condição inicial é z ˙ 0 = 0 . Primeiro temos que calcular a derivada:

z ˙ t = b ω 0 cos ⁡ ω 0 t + ω 0 2 ω 0 2 - ω 2 A ω cos ⁡ ω t

E quando t = 0 :

z ˙ 0 = b ω 0 + ω 0 2 ω 0 2 - ω 2 A ω = 0

b = - ω ω 0 ω 0 2 ω 0 2 - ω 2 A

Então a nossa solução geral fica:

z t = - ω ω 0 ω 0 2 ω 0 2 - ω 2 A sen ⁡ ω 0 t   + ω 0 2 ω 0 2 - ω 2 A sen ⁡ ω t

z t = ω 0 2 ω 0 2 - ω 2 - ω ω 0 sen ⁡ ω 0 t + sen ⁡ ω t

E a frequência natural é:

ω 0 = k m = 80 5 ≈ 12,65   r a d / s

Passo 4

(b) Agora queremos calcular a força exercida sobre a extremidade A .

Bom, a força transmitida ao longo da mola deve ser sempre a mesma. Lá em cima nós calculamos a força que ela realiza sobre o bloco:

F t = k A sen ⁡ ω t - z

A força que o bloco realiza sobre ela tem o mesmo módulo, mas sentido oposto:

F t = k z - A sen ⁡ ω t

E essa é a mesma força em todos os pontos da mola, inclusive na extremidade A . Para escrever a força total só precisamos acrescentar o peso do bloco:

F = m g + k z - A sen ⁡ ω t

Resposta

(a) O deslocamento da massa em relação ao equilíbrio é z t = ω 0 2 ω 0 2 - ω 2 - ω ω 0 sen ⁡ ω 0 t + sen ⁡ ω t , onde ω 0 ≈ 12,65   r a d / s .

(b) A força total é F = m g + k z - A sen ⁡ ω t .

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