Enunciado

A frequência da nota F4 é 349 Hz. (a) Se um tubo de um órgão está aberto em uma extremidade e fechado na outra, qual deve ser o comprimento no modo fundamental para produzir essa nota a 20 °C? (b) Qual seria a temperatura do ar para que a frequência fosse de 370 Hz, correspondendo a um aumento da altura de F para p# (de fá para fá sustenido)? (Despreze a variação do comprimento do tubo produzida pela variação da temperatura.)

Passo 1

Fala galera, bora lá!

(a) A equação da n-ésima frequência de uma onda estacionária em um tubo aberto é dada por:

f n = n v 2 L = n f 1

Então, sabendo que a frequência do quarto harmônico é de 349 Hz, temos que:

f 1 = f 4 4 = 349 4

Concluindo, a frequência fundamental deste tubo é

f 1 = 87,25   H z

Passo 2

(b) Primeiramente precisamos encontrar o valor do comprimento do tubo, que será:

L = v 2 f 1

A velocidade do som depende pela raiz quadrada da temperatura, então a escrevemos da seguinte forma:

v = c T

Onde c são parâmetros que não mudarão com a variação de temperatura, então iremos desconsiderá-los.

Passo 3

Agora, para que a frequência do quarto harmônico seja 370 Hz, temos a seguinte relação:

f 4 ' = 4 v ' 2 L

Substituindo o valor de L que encontramos previamente:

f 4 ' = 4 v ' f 1 v

Passo 4

Substituindo o valor de v e v ' que definimos previamente:

f 4 ' = 4 f 1   T ' T

Por fim, obtemos finalmente:

T ' = f 4 ' 4 f 1 2 T

Agora, considerando que T = 20   ° C = 293,15   K , a temperatura para que a frequência seja de 370 Hz será:

T ' = 329,49   K

Concluindo, a temperatura para fazer com que o quarto harmônico deste tubo seja equivalente à 370 Hz é

T ' = 56,34   ° C

Resposta

  1. f 1 = 87,25   H z
  2. T ' = 56,34   ° C

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