Enunciado

A água sai a 20°C de uma torneira circular que se move para baixo com uma vazão de 10.5 cm3/s (a) Se o diâmetro da torneira for de 1,20 cm, qual a velocidade da água? (b) À medida que o fluido cai da torneira, o fluxo de água diminui. Qual é o novo diâmetro do fluxo em um ponto 7,50 cm abaixo da torneira? Suponha que o fluxo ainda tenha uma seção circular e negligencie qualquer efeito das forças de arrasto que atuam sobre a água. (c) Se fluxos turbulentos são caracterizados por números de Reynolds acima de 2300, aproximadamente, até que ponta a água deve cair antes de torna-se turbulento? Isso corresponde às suas observações diárias?

Passo 1

Temos que,

I = 10,5   c m 3 / s (vazão da água)

d i = 1,20   c m (diâmetro da água)

Para o item (a), basta utilizar a equação da vazão, dada por:

I = A v i = π r 2 v i = 1 4 π d i 2 v i

Com isso, temos que,

v i = I 1 4 π d i 2 = 10,5 1 4 π 1,20 2 = 9,28   c m / s

Passo 2

Para relacionarmos um diâmetro de início com um diâmetro final, temos que utilizar de duas equações, a equação da continuidade e a equação de Torricelli, a primeira relaciona as velocidades com as áreas e a segunda relaciona a velocidade com a altura.

Não é tão difícil quanto parece, vamos destrinchar.

Pela continuidade

A i v i = A f v f

v f π 4 d f 2 = v i π 4 d i 2

d f = v i v f   d i

Por Torricelli

v f 2 = v i 2 + 2 g Δ h  

v f = v i 2 + 2 g Δ h = 9,28 2 + 2 * 9,81 * 7,50 = 122   c m / s  

Substituindo na equação da continuidade, tem-se a resposta do item b

d f = 1,20 9,28 122   = 0,331   c m

Passo 3

A equação que relaciona o ponto com a qual a água torna-se turbulenta é a equação de Torricelli, assim

v t 2 = v i 2 + 2 g Δ d

Δ d = v t 2 - v i 2 2 g

Sabendo que o número de Reynolds é dado por:

N R = 2 r ρ v t η

Porém não sabemos v t , mas sabemos a vazão que calculamos no item (a). Desse modo,

I = π r 2 v t

Substituindo no número de Reynolds e eliminado o raio,

v t = π N R 2 η 2 4 ρ I = π * 2300 2 * 1,00 * 10 - 3 2 4 1,00 * 10 3 2 10,5 = 0,396 m / s

Substituindo na equação de Torricelli, temos a resposta do item (c)

Δ d = 36,6 2 - 9,28 2 2 * 9,81 = 0,76   c m  

Passo 4

Apesar da resposta do item (c) ser muito pequena observa-se turbulência na água, assim como o aumento do diâmetro como observado no item (b)

Resposta

  1. 9,28 cm/s (b) 0,331 cm (c) 0,76 cm, Sim
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