Enunciado

O alcance de uma bala de canhão disparada horizontalmente de um morro é igual à altura do morro. Qual é a orientação do vetor velocidade do projétil ao atingir o chão? (Ignore a resistência do ar.)

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Temos uma bala lançada horizontalmente. Isso significa que a velocidade inicial dela só tem componente horizontal e como não temos resistência do ar, a aceleração na horizontal é nula. Ou seja, temos velocidade constante v 0 x = v 0 .

Já na vertical temos a gravidade, logo temos um movimento com aceleração constante.

A figura abaixo vai nos ajudar a entender melhor o enunciado:

E ele pede o ângulo de chegada. Ele é o ângulo que dá a orientação do vetor velocidade no ponto onde a bala atinge o solo. A gente pode achar esse cara sabendo que as componentes dele são v y e v x :

Aí usando trigonometria, podemos dizer que

tan ⁡ θ = v y v x

θ = tan - 1 ⁡ v y v x

O que a gente precisa fazer é achar v y e v y . Vamos lá!

Passo 2

Percebe que o enunciado fala que Δ x e Δ y tem dimensões iguais. Então vamos escrever esses dois caras.

Analisando o movimento vertical, onde temos aceleração constante, podemos pensar nessa equação:

∆ y = v 0 y t + 1 2 a y t 2

Como inicialmente só há velocidade horizontal, temos v 0 y = 0 e sabemos que a y = - g (já que a gravidade aponta par abaixo). Substituindo, temos que:

∆ y = - 1 2 g t 2

Para o movimento horizontal, como temos velocidade constante, podemos usar:

x = x 0 + v x t

x - x 0 = v x t

∆ x = v x t

Sendo que esse v x é v 0 x = v 0 :

Δ x = v 0 t

Lembrando que o enunciado fala que Δ x e Δ y tem dimensões iguais. Mas como a bala cai, a posição final dela tem menor dimenção que a posição inicial, o que nos diz que Δ y é negativo. Mas Δ x é positivo porque a posição inicial é menor do que a final. Então a gente vai escrever:

∆ x = - ∆ y

Substituindo as expressões que achamos:

v x t = 1 2 g t 2

v x = g t 2

Passo 3

Falta achar v y .

𝐴 componente vertical da velocidade é dada pela equação horaria da velocidade quando temos aceleração constante

v y = v 0 y + a y t

Lembrando que v 0 y = 0 e a y = - g :

v y = - g t

Passo 4

Agora a gente substitui v y e v x na expressão de θ :

θ = tan - 1 ⁡ v y v x

Logo:

θ = tan - 1 ⁡ - g t g t 2

θ = tan - 1 ⁡ - 2

θ = 63,4 °

Esse ângulo está no sentido horário em relação a horizontal.

Resposta

θ = 63,4 °

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