Enunciado

O trebuchet era uma máquina de arremesso construída para atacar as muralhas de um castelo durante um cerco. Uma grande pedra podia ser arremessada contra uma muralha para derrubá-la . A máquina não era instalada perto da muralha porque os operadores seriam um alvo fácil para as flechas disparadas do alto das muralhas do castelo . Em vez disso, o trebuchet era posicionado de tal forma que a pedra atingia a muralha na parte descendente de sua trajetória. Suponha que uma pedra fosse lançada com uma velocidade v 0   =   28,0   m / s e um ângulo θ 0   =   40,0 ° . Qual seria a velocidade da pedra se ela atingisse a muralha (a) no momento em que chegasse à altura máxima da trajetória parabólica e (b) depois de cair para metade da altura máxima? (c) Qual a diferença percentual entre as respostas dos itens (b) e (a)?

Passo 1

Belezera galera, o movimento como um todo pode ser dividido em movimento uniforme em relação ao eixo x e movimento uniformemente variado em relação ao eixo y . A primeira coisa que devemos fazer é obter a velocidade inicial em relação a cada um dos eixos, então primeiro a componente no eixo x :

v 0 x = v 0 * cos ⁡ θ

v 0 x = 28   m/s * cos ⁡ 40 °

v 0 x ≅   21,4   m/s

E para a componente no eixo y :

v 0 y = v o * sen ⁡ θ

v 0 y = 28   m/s * sen ⁡ 40 °

v 0 y ≅   18   m/s

Além disso, sabemos que quando a pedra atinge a altura máxima a velocidade em relação ao eixo vertical é nula, uma vez que esse é o exato momento onde o movimento em relação a esse eixo muda de sentido . Sabemos também que como o movimento no eixo x está relacionado com o movimento uniforme , a componente horizontal da velocidade não se altera. Sendo assim:

v h   m á x = v 0 x

v h   m á x = 21,4   m/s

Passo 2

Agora na letra (b), pra gente encontrar metade da altura inicial, primeiro precisamos encontrar essa tal altura inicial!

E pra gente fazer isso, podemos olhar somente para o eixo y , onde a altura máxima ocorre quando v y = 0   m/s , logo, aplicando a equação de Torricelli:

v y 2 = v 0 y 2 + 2 a ∆ y

E já que quando v y = 0   m/s , temos que ∆ y = h m á x . Dado a = - 9,8   m/s² e v 0 y ≅   18   m/s , vamos obter:

0 2 = 18 2 - 2 9,8 h m á x

h m á x = 18 2 2 9,8

h m á x ≈ 16,5   m

Sendo assim, metade dessa altura vai ser igual a:

h m á x 2 = 8,25   m

Vamos chamar de h , tal que:

h = 8,25   m

Passo 3

Agora, com toda malandragem do mundo, podemos encontrar a velocidade no eixo y , na altura h = 8,25   m , usando novamente Torricelli, só que dessa vez teremos:

v y 2 = v 0 y 2 + 2 a ∆ y

v y 2 = 18 2 - 2 9,8 8,25

Então a velocidade no eixo y , nesse ponto será:

v y = 18 2 - 2 9,8 8,25

v y = ± 162,3

v y ≈ ± 12,7   m/s

Mas como estamos falando do ponto onde o projétil já está “caindo”, a velocidade no eixo y deve ser negativa, de maneira que:

v y ≈ - 12,7   m/s

Passo 4

MAAASSS calma lá jovem mancebo, encontramos apenas a velocidade no eixo y , e queremos encontrar a velocidade total nesse ponto, enão devemos levar em conta nos nossos cálculos a componente da velocidade no eixo x , dada por v 0 x ≅   21,4   m/s , então a velocidade resultante nesse ponto, na notação vetorial será:

v → r e s = 21,4   m/s   î + - 12,7   m/s j ^

v → r e s = 21,4   m/s   î - 12,7   m/s j   ^

Sendo assim, o módulo da velocidade da pedra, quando ela está caindo, é dado por:

‖ v → r e s ‖ = 21,4   m/s 2 + - 12,7   m/s 2 ≅ 24,9   m/s

E portanto, podemos calcular a diferença percentual, fazendo a divisão:

( 24,9   m/s ) - 21,4   m/s 21,4   m/s = 0,1636

p = 16,36 %

Ufa , acabou Se ainda tiver fôlego , topa fazer mais exercícios??

Resposta

  1. v h   m á x = 21,4   m/s
  2. ‖ v → r e s ‖ ≅ 24,9   m/s
  3. p = 16,36 %
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