Enunciado

Algumas pedras rolando aproximam-se da base de uma colina com uma velocidade de 12   m / s . A colina está inclinada em 36 ° acima do plano horizontal e possui coeficientes de atrito cinético e estático de 0,45 e 0,65 , respectivamente, com essas pedras. (a) Ache a aceleração das pedras enquanto elas deslizam até a colina. (b) Quando uma pedra alcança seu ponto mais alto, ela permanecerá ali ou deslizará colina abaixo? Se permanecer, mostre por quê. Se descer, ache sua aceleração no caminho de retorno.

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar (a) a aceleração das pedras quando elas deslizam até a colina e (b) verificar o que acontece quando uma pedra alcança seu ponto mais alto.

A segunda lei de Newton se aplica às pedras na colina. Quando estão em movimento, o atrito cinético age sobre elas, mas quando estão em repouso, o atrito estático age.

Então, vamos usar as coordenadas com eixos paralelos e perpendiculares à inclinação, com + x na direção da aceleração para calcular as forças conforme a segunda lei na forma:

∑ F x = m a x

∑ F y = m a y = 0

Vamos lá!

Passo 2

a) Com a pedra está deslizando morro acima, a força de atrito é descendo a colina e diagrama de corpo livre é dado na figura (a):

Calculando as forças na direção vertical, usando a segunda lei de Newton, temos:

  Σ F y = m a y = 0

n = m g cos ⁡ ϕ

Onde n representa a força de contato e m g cos ⁡ ϕ a componente da força peso na direção y . Sendo assim, com a força de atrito estático dada por:

f k = μ k n

Vamos ter:

f k = μ k m g cos ⁡ ϕ

Passo 3

Agora na direção horizontal, vamos ter:

Σ F x = m a x  

m g s i n ⁡ ϕ + μ k m g c o s ⁡ ϕ = m a

Onde m g s i n ⁡ ϕ é a componente horizontal da força peso e μ k m g c o s ⁡ ϕ a componente horizontal da força de atrito.

Então, isolando a aceleração a na equação, temos:

a = g sin ⁡ ϕ + μ k cos ⁡ ϕ

E substituindo os valores, obtemos:

a = 9.80 m s 2 sin ⁡ 36 ∘ + 0.45 cos ⁡ 36 º

a = 9 , 33   m / s 2

Passo 4

b) O componente da gravidade no declive é m g s i n ⁡ ϕ = 0 , 588 m g . A força de atrito estática máxima é:

f s = μ s n

f s = μ mgcos ⁡ ϕ

Então,

f s = 0 , 526 m g

Portanto, f s não pode ser tão grande quanto m g s i n ⁡ ϕ e a pedra desliza pra baixo.

Conforme a pedra desliza para baixo, a força   f k sobe a inclinação. O diagrama de corpo livre é dado na figura (b).

Assim, fazendo o somatório de forças verticais, teremos:

Σ F y = m a y = 0  

n = mgcos ⁡ ϕ  

Logo, a força de atrito será dada por:

f k = μ k n

f k = μ k m g c o s ⁡ ϕ .

E na direção horizontal, teremos:

Σ F x = m a x  

m g s i n ⁡ ϕ - μ k m g c o s ⁡ ϕ = m a

Então, isolando a na equação:

a = g sin ⁡ ϕ - μ k cos ⁡ ϕ

a = 2 , 19   m / s 2

Para baixo.

A aceleração descendo a inclinação em (a) é maior do que em (b) porque em (a) o atrito estático e a gravidade atuam na inclinação, enquanto em (b) o atrito está na inclinação, opondo-se à gravidade que ainda atua na inclinação.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

  1. 9,33 m s 2
  2. 2,19 m s 2
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