Enunciado

42. Um alpinista de 85,0   k g planeja saltar, a parti do repouso, de uma saliência de um rochedo usando uma corda leve de 6,50   m de comprimento. Ele segura uma das extremidades da corda, e a outra extremidade é amarrada em uma parede de rocha mais acima. Como a saliência que ele está não fica muto distante da parede de rocha, a corda forma um ângulo pequeno com a vertical. No ponto mais baixo de seu oscilar, o alpinista planeja largar a corda e cair de uma altura não muito elevada até o chão. ( a ) Quanto tempo depois de saltar segurando a corda o alpinista chegará pela primeira vez ao seu ponto mais baixo? b ) Se ele perder a primeira oportunidade de soltar a corda, quanto tempo após o início de sua oscilação o alpinista chegará ao seu ponto mais baixo pela segunda vez?

Passo 1

Bem, podemos considerar essa situação do enunciado com se fosse um pêndulo.

Mas como saber o tempo que leva até a parte mais baixa? Podemos usar o período ao nosso favor, já que para o pêndulo ele tem uma fórmula bem definida para amplitudes pequenas, como foi dito pelo enunciado. A fórmula é seguinte:

T = 2 π L g

Mas para usá-la temos que saber que fração do período temos quando o pêndulo se encontra na posição comentada mais acima.

O período de um pêndulo é o tempo que ele leva a partir do momento que é solto até ele voltar para posição inicial. Então metade do período é o tempo de ida e a outra metade o tempo de volta.

Agora, o ponto onde o pêndulo está totalmente na vertical se localiza na metade do percurso da ida, então ele leva metade do tempo de ida e esse por sua vez é metade do período, então o tempo que o pêndulo leva para atingir essa posição é T / 4 , um quarto do período.

Então a nossa fórmula anterior fica:

T 4 = 2 π 4 L g

⇒ T 4 = π 2 L g

Agora, a próxima consecutiva que isso ocorre é quando o pêndulo completa a ida e está na metade da volta, então isso corresponde a 3 T / 4   do período.

Então a fórmula fica assim:

3 T 4 = 3 * 2 π 4 L g

3 T 4 = 3 π 2 L g

Passo 2

Primeiro vamos achar quanto tempo leva para o alpinista chegar na posição pela primeira vez, temos:

T 4 = π 2 L g

Sabemos que L = 6,5   m e que g = 9,8   m / s 2 , assim:

T 4 = π 2 6,5 9,8

⇒ T 4 = π 2 0 , 814

⇒ T 4 = 1,28   s

Passo 3

Agora vamos achar o tempo que levaria caso o alpinista foi meio distraído e passasse do ponto da primeira passada, então:

3 T 4 = 3 π 2 L g

Sabemos que L = 6,5   m e que g = 9,8   m / s 2 , assim:

3 T 4 = 3 π 2 6,5 9,8

⇒ 3 T 4 = 3 π 2 0,814

⇒ 3 T 4 = 3,84   s

Resposta

a

T 4 = 1,28   s

( b )

3 T 4 = 3,84   s

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