Enunciado

O ângulo descrito por uma unidade de disco girando é dado θ t = a + b t - c t 3 , onde a , b e c são constantes positivas tais que se t for dado em segundos, θ deve ser medido em radianos.

Quanto t = 0 , θ = π / 4 r a d e a velocidade angular é 2,0   r a d / s , e quando t = 1,50   s , a aceleração angular é 1,25   r a d / s 2 .

a) Calcule a ,   b   e   c , incluindo suas unidades.

b) Qual é a aceleração angular quando θ = π / 4   r a d ?

c) Quais são θ e a velocidade angular quando a aceleração angular é 3,50   r a d / s 2 ?

Passo 1

Fala, galerinha! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular os valores de a , b e c , presentes na equação θ t = a + b t - c ; calcular a aceleração angular quando θ = π / 4   r a d e os valores de θ e da velocidade angular quando a aceleração é 3,5   r a d / s 2 .

Pra isso, a gente precisa saber que a derivada do deslocamento angular θ ( t ) vai nos fornecer a velocidade angular ω ( t ) e que a derivada da velocidade angular, vai nos fornecer a aceleração angular α ( t ) .

Tendo isso em vista, nós conseguimos substituir as condições numéricas de cada item na expressão encontrada e obter o nosso resultado.

Vamos lá!

Passo 2

a) Em t = 0 temos que θ 0 = π / 4 e ω 0 = 2   r a d / s . Então vamos usar essas condições para determinar a e b . Começando por a . Usando a equação para a posição angular temos:

θ 0 = a = π 4

Logo a = π 4 r a d . Derivando θ ( t ) para determinar ω ( t ) temos:

ω t = b - 3 c t 2

E no instante inicial: ω 0 = b = 2 r a d / s . Beleza! Então temos que a = π / 4   e b = 2 r a d / s .

Agora vamos ao c . Derivando ω encontramos a aceleração, e é isso que queremos!

α = d ω d t = - 6 c t

E em t = 1,5 s a aceleração é 1,25   r a d / s 2 . Substituindo na expressão que derivamos agora teremos:

α 1,5 = - 6 c ∙ 1,5 = 1,25

c = - 0,139 r a d / s 3

Em resumo:

a = π / 4 r a d

b = 2 r a d / s

c = - 0,139   r a d / s 3

Passo 3

b) Temos θ = π / 4 no instante inicial, então o problema pede α 0 .   Substituindo na expressão da aceleração, que encontramos no item anterior, temos:

α = - 6 c t

Onde c = - 0,139   r a d / s 3 . Assim, temos:

α 0 = - 6 ∙ - 0,139 ∙ 0

α 0 = 0

Passo 4

Precisamos determinar qual instante de tempo que α = 3,5   r a d / s 2 para daí encontrar os valores de θ e ω nesse instante, ok? Usando a expressão para α temos:

α = 0,834 t

t = 3,5 0,834

t = 4,19 s

Agora é só substituir t = 4,19 s nas expressões para θ ( t ) e ω ( t ) .

Para o deslocamento, temos:

θ 4,19 = π 4 + 2.4,19 - 0,834 4,19 3

θ 4,19 = 19,5 r a d

E para a velocidade, temos:

ω 4,19 = 2 + 0,417 4,19 2

ω 4,19 = 9,36 r a d / s

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

a )   a = π / 4 r a d

b = 2 r a d / s

c = - 0,139 r a d / s 3

b )   α 0 = 0

c )   θ 4,19 = 19,5 r a d   ;   ω 4,19 = 9,36 r a d / s

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