Enunciado

O aparato da Figura 4-60 é chamado de máquina de Atwood e é usado para medir a aceleração de queda livre g medindo-se a aceleração dos dois blocos ligados pelo fio que passa pela polia. Suponha uma polia sem massa e sem atrito e um dio sem massa. (a) Desenhe o diagrama de corpo livre de cada bloco. (b) Use os diagramas de corpo livre e as leis de Newton para mostrar que a magnitude da aceleração de cada bloco e que a tensão no fio são a = m 1 - m 2 g / ( m 1 + m 2 ) e T = 2 m 1 m 2 g / ( m 1 + m 2 ) . (c) Estas expressões fornecem resultados plausíveis se m 1 = m 2 no limite m 1 ≫ m 2 e no limite m 1 ≪ m 2 ? Explique.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão. A caixa de maior massa vai puxar a de menor massa através da cordinha.

Como solicitado no item (a), está exposto abaixo o diagramde corpo livre dos dois blocos:

A tensão T é a força com que a corda puxa um bloco. Ela é a mesma para os dois e tem a mesma magnetude porque eles estão presos à mesma corda.

Mas como m 1 > m 2 , a força peso do bloco 1 é maior.

É possível notar que em cada bloco foi considerado um sistema de coordenadas diferente, colocando y no sentido da aceleração, para facilitar nossos cálculos.

Passo 2

Para resolver o item (b), precisamos achar a expressão da aceleração dos blocos e da tensão T .

Aplicando a segunda lei de Newton no bloco de massa m 1 , temos:

∑ F y = m a y

F g 1 - T = m a y

m 1 g - T = m 1 a 1 y   i

Aplicando a segunda lei de Newton no bloco de massa m 2 , temos:

∑ F y = m a y

T - F g 2 = m 2 a 2 y

T - m 2 g = m 2 a 2 y   i i

Passo 3

Como os blocos estão conectados pela polia simples (os blocos estão conectados por uma mesma corda), temos uma aceleração única para os dois corpos:

a 1 y = a 2 y = a

Substituindo isso nas equações que temos i e i i :

m 1 g - T = m 1 a

T - m 2 g = m 2 a

Somando as duas equações, temos:

m 1 g - m 2 g = m 1 a + m 2 a

Colocando a em evidência e isolando:

a = m 1 - m 2 g m 1 + m 2

Chegamos em a , falta T .

Passo 4

Da equação i i , temos:

T - m 2 g = m 2 a

T = m 2 a + m 2 g

Substituindo nossa expressão de a aí:

T = m 2 m 1 - m 2 g m 1 + m 2 + m 2 g

Multiplicando o termo da direita por ( m 1 + m 2 )   em cima e embaixo (ou seja, fazendo o MMC):

T = m 1 - m 2 m 2 g m 1 + m 2 + m 2 g m 1 + m 2 m 1 + m 2

T = m 2 g m 1 + m 2 m 1 - m 2 + m 1 + m 2

T = 2 m 1 m 2 g m 1 + m 2

Passo 5

Para resolver o item (c), temos que analisar as 3 situações que ele propõe e ver se elas fazem sentido quando aplicadas as equações que a gente achou.

Quando m 1 = m 2 = m , as equações da aceleração e tensão, encontradas no item a), se tornam:

a = m 1 - m 2 g m 1 + m 2 = m - m g m + m

a = 0 g 2 m = 0

T = 2 m 1 m 2 g m 1 + m 2 = 2 m m g m + m

T = 2 m 2 g 2 m = m g

Estes resultados são esperados, pois, se os blocos têm mesma massa, eles se equilíbram (ou seja, eles ficam parados e a = 0 ) e a tensão na corda em cada lado é a força peso gerada pela massa do bloco.

Passo 6

Para o limite m 1 ≫ m 2 ele quer dizer que a massa m 2 é desprezível em relação a massa m 1 . Então vamos fazer m 2 = 0 nas nossas equações e ver o que acontece:

a = m 1 - m 2 g m 1 + m 2 = m 1 - 0 g m 1 + 0

a = g

T = 2 m 1 m 2 g m 1 + m 2 = 2 m 1 0 g m 1 + 0

T = 0

Esses resultados fazem sentido porque se m 2 é desprezível, não há nada segurando o outro lado da corda e impedindo o bloco de massa m 1 de cair em queda livre (com aceleração a = g ). E se nada segura o outro lado da corda, não há tensão nessa corda.

Para o limite m 1 ≪ m 2 , vamos considerar que m 1 é desprezível em relação a m 2 . Então vamos fazer m 1 = 0

a = m 1 - m 2 g m 1 + m 2 = 0 - m 2 g m 1 + m 2

a = - g

T = 2 m 1 m 2 g m 1 + m 2 = 2 m 2 0 g m 1 + 0

T = 0

Aqui acontece a mesma coisa que no caso anterior. Esse menos em a = - g é só porque nosso sistema de referência é diferente. Mas esses resultados também indicam que m 2 entra em queda livre.

Resposta

a)

b) demonstração nos passos

c) resultados são plausíveis, justificação nos passos

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