Enunciado

Arcos de balão são uma decoração encontrada em feiras e comemorações. Prende-se balões cheios de hélio a uma corda fixa ao chão pelas extremidades. A ascensão dos balões levanta a estrutura em uma forma de arco. A Figura 4-43a mostra a geometria de tal estrutura. N balões são amarrados em pontos igualmente espaçados ao longo de uma corda sem massa de comprimento L, que está presa a dois suportes nas extremidades. Cada balão contribui com uma força de sustentação de magnitude F. As coordenadas horizontal e vertical do ponto da corda onde está amarrado o i-ésimo balão são x i e y i e T i é a tensão no i-ésimo segmento. (Note que o segmento 0 é o segmento entre o ponto de amarração e o primeiro balão, e que o segmento N é o segmento entre o último balão e o outro ponto de amarração.) (a) A Figura 4-43b mostra um diagrama de corpo livre para o i-ésimo balão. Usando este diagrama, mostre que a componente horizontal da força T i , (chame-a de T H ) é a mesma para todos os segmentos da corda. (b) Considerando as componentes verticais das forças, use as leis de Newton para deuzir a seguinte relação entre as tensões nos i-ésimo e (i – 1)-ésimo segmentos : T i - 1   s e n   θ i - 1 - T i   s e n   θ i = F . (c) Mostre que tan ⁡ θ 0 = - tan ⁡ θ N + 1 = N F / 2 T H . (d) Usando diagrama e as duas expressões anteriores, mostre que tan ⁡ θ i = ( N - 2 i ) / 2 T H e que x i = L N + 1 ∑ j = 0 i - 1 cos ⁡ θ j , y i = L N + 1 ∑ j = 0 i - 1 sin ⁡ θ j .

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

O diagrama de corpo livre da situação está representado na Figura 4-43b do enunciado.

Por definição, temos que:

∑ F x = m a x

∑ F y = m a y

Temos que, para que os sistemas se encontrem em repouso, ∑ F x e ∑ F y devem ser iguais a zero.

Para o item (a), temos:

∑ F x = T i cos ⁡ θ i - T i - 1 cos ⁡ θ i = 0

Como temos que:

T H = T i cos ⁡ θ i

Logo:

T H - T i - 1 cos ⁡ θ i = 0

T H = T i - 1 cos ⁡ θ i

Passo 2

Analisando o movimento em y, para responder o item (b), temos que:

∑ F x = T 2 - T 1 = 0

T 1 = T 2 = T

∑ F y = F + T 1 sin ⁡ θ 1 - T i - 1 sin ⁡ θ i - 1 = 0

Resolvendo, temos que:

F + T 1 sin ⁡ θ 1 - T i - 1 sin ⁡ θ i - 1 = 0

F = T i - 1 sin ⁡ θ i - 1 - T 1 sin ⁡ θ 1

Passo 3

Por simetria, temos:

tan ⁡ θ 0 = N F 2 T H = N F 2 T H

Portanto:

tan ⁡ θ 0 = - tan ⁡ θ N + 1 = N F 2 T H

Passo 4

Para o item (d), temos:

F T H = T i - 1 sin ⁡ θ i - 1 T i - 1 cos ⁡ θ i - 1 - T 1 sin ⁡ θ i T i cos ⁡ θ i

Sabemos que:

tan ⁡ θ 1 = N F 2 T H - F T H

tan ⁡ θ 1 = ( N - 2 ) F 2 T H

Temos, portanto:

tan ⁡ θ i = ( N - 2 i ) F 2 T H

A distância entre dois balões é dada por:

l = L N + 1

Temos que:

x i = x i - 1 + L N + 1 cos ⁡ θ i - 1

x i = L N + 1 ∑ j = 0 i - 1 cos ⁡ θ j

Com o processo similar, podemos encontrar y i . Temos que:

y i = L N + 1 ∑ j = 0 i - 1 sin ⁡ θ j

Resposta

a ) T H = T i cos ⁡ θ i

T H = T i - 1 cos ⁡ θ i

b ) F = T i - 1 sin ⁡ θ i - 1 - T 1 sin ⁡ θ 1

c ) tan ⁡ θ 0 = - tan ⁡ θ N + 1 = N F 2 T H

d ) tan ⁡ θ i = ( N - 2 i ) F 2 T H

x i = L N + 1 ∑ j = 0 i - 1 cos ⁡ θ j

y i = L N + 1 ∑ j = 0 i - 1 sin ⁡ θ j

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