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No arranjo das duas esferas da Fig. 9-20, suponha que a esfera 1 tem uma massa de 50   g e uma altura inicial h 1   =   9,0   c m e que a esfera 2 tem uma massa de 85   g . Depois que a esfera 1 é liberada e colide elasticamente com a esfera 2, que altura é alcançada (a) pela esfera 1 e (b) pela esfera 2? Após a colisão (elástica) seguinte, que altura é alcançada (c) pela esfera 1 e (d) pela esfera 2? (Sugestão: não use valores arredondados.)

Passo 1

Bom pessoal , escolhemos o sentido para a direita na figura como sentido positivo do eixo x . Vamos usar a notação v → para designar velocidades e v para designar velocidades escalares (que são sempre positivas). Como as manipulações algébricas são relativamente complexas, é conveniente introduzir a variável Δ m   =   m 2   –   m 1 (que, em nosso caso, é positiva).

(a) Como v → 1 f = 2 g h 1 , temos:

v → 1 f = m 1 - m 2 m 1 + m 2 v 1 i = - ∆ m m 1 + m 2 2 g h 1

o que significa que a velocidade escalar da esfera 1 imediatamente após a colisão é v 1 f = ∆ m m 1 + m 2 2 g h 1 e que v → f 1   aponta no sentido negativo do eixo x . Como, de acordo com a lei de conservação da energia, m 1 g h 1 f = m 1 v 1 f 2 2 , isso nos dá

h 1 f = v 1 f 2 2 g = ∆ m m 1 + m 2 2 h 1

Para m 1   =   50   g e m 2   =   85   g , obtemos h 1 f   ≈   0,60   c m .

Passo 2

Então galera , nós sabemos que :

v 2 f = 2 m 1 m 1 + m 2 v 1 i = 2 m 1 m 1 + m 2 2 g h 1

Como, de acordo com a lei de conservação da energia, m 2 g h 2 f = m 2 v 2 f 2 2 , isso nos dá

h 2 f = v 2 f 2 2 g = 2 m 1 m 1 + m 2 2 h 1

Para m 1   =   50   g e m 2   =   85   g , h 2 f   ≈   4,9   c m .

Passo 3

Então pessoal ,felizmente, as esferas se chocam de novo no ponto mais baixo das respectivas trajetórias Correndo o risco de usar uma notação imprópria, vamos chamar as alturas alcançadas após a segunda colisão elástica de h 1 f f e h 2 f f . No ponto mais baixo (imediatamente antes da segunda colisão), a velocidade da esfera 1 é + 2 g h 1 f (para a direita na figura )e a velocidade da esfera 2 é - 2 g h 1 f (para a esquerda na figura). Assim, de acordo com as relações que conhecemos , a velocidade da esfera 1 imediatamente após a segunda colisão é dada por :

v → 1 f f = m 1 - m 2 m 1 + m 2 2 g h 1 f + 2 m 2 m 1 + m 2 - 2 g h 2 f

v → 1 f f = - ∆ m m 1 + m 2 ∆ m m 1 + m 2 2 g h 1 - 2 m 2 m 1 + m 2 2 m 1 m 1 + m 2 2 g h 1

v → 1 f f = - ∆ m 2 + 4 m 1 m 2 m 1 + m 2 2 2 g h 1

Expandindo Δ m 2 e m 1   +   m 2 2   na expressão acima, obtemos v 1 f f = 2 g h 1 . De acordo com a lei de conservação da energia, m 1 g h 1 f f = m 1 v 1 f f 2 2 isso nos dá

h 1 f f = v 1 f f 2 2 g = h 1 = 9   c m

Passo 4

Com base no resultado do item (c), podemos concluir (raciocinando em termos de energia) que h 2 f f   =   0 . Entretanto, vamos ver como esse resultado surge a partir da aplicação da Eq. 9-76 à velocidade da esfera 2 imediatamente após a segunda colisão:

v 2 f f = 2 m 1 m 1 + m 2 2 g h 1 f + m 2 - m 1 m 1 + m 2 - 2 g h 2 f

= 2 m 1 m 1 + m 2 ∆ m m 1 + m 2 2 g h 1 + ∆ m m 1 + m 2 - 2 m 1 m 1 + m 2 2 g h 1

= 2 m 1 ∆ m - 2 m 1 ∆ m m 1 + m 2 2 2 g h 1 = 0

Após a segunda colisão, portanto, a esfera 2 permanece no ponto mais baixo da trajetória e a esfera 1 volta à altura inicial, o que recria as condições do início do problema. Assim, as colisões subsequentes, desprezando os efeitos do atrito, são uma mera repetição das duas primeiras.

Resposta

h 1 f   ≈   0,60   c m .

h 2 f   ≈   4,9   c m

h 1 f f = v 1 f f 2 2 g = h 1 = 9   c m

v 2 f f = 0

Tranquilo galera? Bora resolver mais questões então

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