Enunciado

50. Um bloco de 100   g , sobre uma mesa livre de atrito, está firmemente preso à extremidade de uma mola com k = 20   N / m . A outra extremidade está ancorada a uma parede. Uma bola de 20   k g é arremessada horizontalmente em direção ao bloco com uma velocidade de 5,0   m / s .

a . Se a colisão for perfeitamente elástica, qual será o módulo da velocidade da bola logo após a colisão?

b . Qual será a máxima compressão da mola?

c . Refaça os itens anteriores para o caso de uma colisão perfeitamente inelástica.

Passo 1

Então galera na situação que envolve o item ( a ) e o item ( b ) temos uma colisão perfeitamente elástica onde um dos elementos está parado. Nessa situação temos a conservação do momento e a conservação da energia.

O livro nos fornece através da equação 10.43 a velocidade final do objeto que estava se movendo inicialmente e a velocidade do objeto que estava parado inicialmente que foram deduzidas a partir dessas conservações que comentei acima, temos:

v f 1 = m 1 - m 2 m 1 + m 2 v i 1

v f 2 = 2 m 1 m 1 + m 2 v i 1

A primeira equação vai ser o suficiente para resolvermos o item ( a ) já que temos todas as informações necessárias.

Para o item ( b ) vamos usar a segunda equação e a conservação de energia para encontrar a compressão da mola, temos que:

K i + U i = K f + U f

Onde essa energia potencial é elástica, então temos o seguinte:

m B v i B 2 2 + 1 2 k Δ x i 2 = m B v f B ' 2 2 + 1 2 k Δ x f 2

A situação inicial é logo depois da colisão e a situação final é quando o bloco já comprimiu ao máximo a mola e tem velocidade zero.

Vamos necessitar da segunda equação que mencionei justamente para saber o valor de v f B que vai ser nesse caso igual a v i B é dessa maneira pela consideração que fizemos de momento inicial e final.

Agora para o item ( c ) temos que fazer a mesma coisa que os itens anteriores só que para o caso de uma colisão inelástica (a bola e o bloco ficam grudados depois da colisão).

A velocidade final da bola que vai ser a mesma do bloco por estarem grudados vamos obter com a conservação do momento.

A compressão da mola vamos usar a conservação de energia, mas a nossa situação inicial vai ser quando a bola e bloco ficam grudados e a situação final é quando o bloco e a bola já comprimiram ao máximo a mola e tem velocidade zero.

Passo 2

Vamos então começar com o item ( a ) , e encontrar a velocidade final da bola, temos o seguinte:

v f 1 = m 1 - m 2 m 1 + m 2 v i 1

Para a nossa situação a equação fica da seguinte forma:

v f b = m b - m B m b + m B v i b

Substituindo o que sabemos, temos:

v f b = 20 - 0,1 20 + 0,1 5

= 19,9 20,1 5

Então temos que:

v f b = 4,95   m / s

Passo 3

Agora vamos para o item ( b ) . Primeiro vamos achar a velocidade final do bloco que vai acabar sendo a velocidade inicial na equação da conservação de energia. Temos o seguinte:

v f 2 = 2 m 1 m 1 + m 2 v i 1

Para a nossa situação a equação fica da seguinte forma:

v f B = 2 m b m b + m B v i b

Substituindo o que sabemos, temos:

v f B = 2 20 20 + 0,1 5

= 40 20,1 5

Então temos que:

v f B = 9,95   m / s

Agora que temos essa velocidade podemos encontrar a compressão da mola.

Passo 4

Continuando o item ( b ) , temos o seguinte:

m B v i B 2 2 + 1 2 k Δ x i 2 = m B v f B ' 2 2 + 1 2 k Δ x f 2

Inicialmente a compressão da mola é nula ( Δ x i = 0 ) e no final a velocidade do bloco é zero ( v f B = 0 ) , então temos o seguinte:

m B v i B 2 2 = + 1 2 k Δ x f 2

⇒ m B v i B 2 = k Δ x f 2

Isolando Δ x f temos:

Δ x f = m B v i B 2 k

Substituindo o que sabemos, temos:

Δ x f = 0,1 9,95 2 20

⇒ Δ x f = 0,703   m

Passo 5

Agora temos o item ( c ) com a sua colisão inelástica. Primeiro vamos encontrar a velocidade da bola depois da colisão.

Lembrando que a velocidade da bola vai ser iguala do bloco já que eles ficam grudados. Temos:

p i = p f

m b v b i + m B v B i = m b + m B v b f

Sabemos que inicialmente temos v B i = 0 , então:

m b v b i = m b + m B v b f

⇒ v b f = m b v b i m b + m B

Substituindo o que sabemos, temos:

v b f = 20 ( 5 ) 20 + 0,1

⇒ v b f = 4,97   m / s

Passo 6

Agora vamos encontrar a deformação da mola para o caso do item ( c ) , temos o seguinte:

K i + U i = K f + U f

m b + m B v i 2 2 + 1 2 k Δ x i 2 = m b + m B v f 2 2 + 1 2 k Δ x f 2

Pela situação que descrevi no passo um de qual seria a situação inicial e a situação final, temos que v i é igual a velocidade que achamos no passo anterior, a deformação da mola inicialmente é Δ x i = 0 e a velocidade v f é zero, assim temos:

m b + m B v i 2 2 = + 1 2 k Δ x f 2

⇒ m b + m B v i 2 = k Δ x f 2

Isolando Δ x f temos:

Δ x f = m b + m B v i 2 k

Substituindo com os valores que conhecemos, temos:

Δ x f = 20 + 0,1 4,97 2 20

⇒ Δ x f = 4,98   m

Resposta

( a )

v f b = 4,95   m / s

( b )

Δ x f = 0,703   m

( c )

v b f = 4,97   m / s

Δ x f = 4,98   m

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