Enunciado

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Um avião está voando em uma circunferência horizontal com uma velocidade de 480   k m / h (Fig. 6-41). Se as asas estão inclinadas de um ângulo θ =   40 ° com a horizontal, qual é o raio da circunferência? Suponha que a força necessária para manter o avião nessa trajetória resulte inteiramente de uma "sustentação aerodinâmica" perpendicular à superfície das asas.

Passo 1

Faaaala, cê tá bem?

Então, a gente em um avião fazendo um movimento circular horizontal. Se tem movimento circular, tem aceleração centrípeta na direção horizontal, apontando para o centro da trajetória. No caso da figura, apontando para a direita.

Aí o que ele quer é o raio da trajetória circular do avião.

Ele diz que há uma força de sustentação F → que é perpendicular às asas do avião, temos também a força peso do avião para baixo. Então galera, a boa desse exercício é construir o diagrama de corpo livre do avião, já que a gente tem essas forças atuando:

Percebe que a força que tem componente na direção horizontal é a força de sustentação. Então a componente horizontal dela vai fazer o papel de força centrípeta, produzindo aceleração centrípeta e mantendo o avião na trajetória circular.

Já a componente vertical de F → vai ser responsável por manter o avião no ar, se oponto a força peso.

O que a gente pode fazer aqui é usar a segunda lei de Newton nesse avião para achar equações que possam nos dar uma expressão para o raio dessa trajetória circular. Bora lá ver como fazer isso!

Passo 2

Primeiros vamos achar as componentes de F → . O que temos que fazer aqui é decompor essa força F → no eixo vertical e no eixo horizontal

Só que pra gente fazer essa decomposição precisamos saber qual o ângulo formado dessa força F → com a horizontal! Pra isso vamos fazer um esquema dos ângulos:

Já que F → é perpendicular ao avião, esse ângulo rosa precisa ser de 90 ° , então o ângulo que F → faz com o eixo x vai ser 90 ° - θ , onde θ = 40 ° .

Isso significa que as componentes x e y de F são dadas por

F x = F cos ⁡ 90 ° - θ = F cos ⁡ 90 - 40 = F cos ⁡ 50

F y = F   s e n 90 ° - θ = F   s e n ( 50 )

Percebe que a gente usa cosseno para componente x porque o nosso ângulo está colado no eixo x . E aí na outra componente usamos y .

Passo 3

Vamos aplicar a segunda lei de Newton na vertical:

∑ F y = m a y

Não há movimento nessa direção, então a y = 0 . Ficamos assim:

∑ F y = 0

F y - P = 0

Substituindo as expressões de cada uma dessas forças:

F   s e n   50 - m g = 0

F   s e n   50 = m g   i

Passo 4

Agora para o eixo x :

∑ F x = m a x

Temos que a aceleração nesse caso é a aceleração centrípeta que tem a fórmulinha

a x = a c e n t r = v 2 R

E a única força atuando é a componente x de F , F x = F cos ⁡ 50 . SUbtituindo essas duas coisinhas:

∑ F x = m a x

F x = m a c e n t r

F cos ⁡ 50 = m v 2 R   i i

Passo 5

Temos duas equações:

F   s e n   50 = m g   i

F cos ⁡ 50 = m v 2 R   i i

Como queremos o raio R da trajetória vamos dividir uma equação pela outra

F s e n 50 F c o s 50 = m g m v 2 R

s e n 50 c o s 50 = m g R m v 2

Isolando R :

R = tan ⁡ 50 v 2 g

Agora é só substituir os valores! Mas aaaantes vamos converter a nossa velocidade para m / s

v = 480 k m h = 480 ⋅ 1000   m 3600   s = 133,33   m / s

Agora sim, substituindo:

R = tan ⁡ 50 ⋅ 133,33 2 9,81

R = 2160   m

R ≈ 2,2   k m

Show! :D

Resposta

R = 2160   m ≈ 2,2   k m

Traquilo pessoal???? Bora resolver mais questões então!!!!!!!

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