Enunciado

Um barco de 1000   k g está navegando a 90   k m / h quando o motor é desligado. O módulo da força de atrito f → k entre o barco e a água é proporcional à velocidade v do barco: f k = 70 v , onde v está em metros por segundo e f k em Newtons. Determine o tempo necessário para o barco reduzir a velocidade para 45   k m / h .

Passo 1

Belezera galerinha, este é um problema que precisamos ter bastante atenção. Aqui nós NÃO PODEMOS usar a função da velocidade v t = v 0 + a t , porque a força de atrito f k → é a força resultante neste problema e ela não é constante, afinal ela depende da velocidade v :

f k = 70 v

Logo a aceleração também não será constante. Portanto, para este problema devemos saber aplicar o conceito de integral e derivada.

Vamos começar aplicando a segunda lei de Newton para o eixo do movimento:

f k = - m a

Substituindo o valor de f k dado e lembrando que a aceleração é a derivada da velocidade, a = d v d t , obtemos:

70 v = - m a

70 v = - m d v d t

Arrumando essa equação:

- 70 m d t = d v v

Passo 2

Iradoso galera, agora a gente pode lembrar lá das aulinhas de calculo, e das EDO’s que a gente pensou que nunca iria usar, pois bem, vamos usar agora rsrs. Se liga só, podemos integrar dos dois lados, respeitando suas coordenadas, de forma que:

- 70 m ∫ 0 t d t = ∫ v 0 v d v v

Lembrando que devemos converter de k m / h para m / s e para isso devemos dividir a velocidade dada por 3,6 . Assim:

v 0 = 25   m/s

v = 12,5   m/s

Portanto, substituindo os valores na integral:

- 70 1000 ∫ 0 t d t = ∫ 25 12,5 d v v

Passo 3

Calculando as integrais:

- 70 1000 t = ln ⁡ 12,5 - ln ⁡ 25

Logo:

ln ⁡ 12,5 25 = - 70 1000 t

Isolando t :

t = - ln ⁡ 12,5 25 × 1000 70

t = 9,90   s

Resposta

t = 9,90   s

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