Enunciado

A figura é uma vista superior de uma barra rígida que gira em torno de um eixo vertical até dois que dois calços de borracha exatamente iguais, A e B , situados a r a = 7,0   c m e r b = 4,0   c m de distância do eixo sejam empurrados contra paredes rígidas. Inicialmente, os calços tocam as paredes sem sofrer compressão. Em seguida, uma força F → de módulo 220   N é aplicada perpencidularmente à barra a uma distância R = 5,0   c m do eixo. Determine o módulo da força que comprime (a) o calço A e (b) o calço B .

Passo 1

Vamos ver se entendemos o problema. Inicialmente, os calços presos nas extremidades da barra estavam tocando a parede sem “fazer força” (sem compressão).

Depois, alguém faz uma força F → naquele ponto da figura, mas os calços apertam contra a parede, são comprimidos e depois não deixam ela girar mais. A pergunta é, qual é o módulo das forças em cada calço?

Beleza, como a barra não está girando, vamos começar usando as condições de equilíbrio. O torque total tem que ser zero, se não a barra ia girar.

Na fórmula do torque, as forças que empurram a barra no sentido horário ficam negativas, e as do anti-horário ficam positivas, então:

∑ τ = - F R + F A r a + F B + r b = 0

E aí:

F R = F a r a + F b r b

Onde F A e F B são as forças feitas pelos calços A e B , respectivamente. Vamos em frente.

Passo 2

Só com essa equação não dá pra resolver o problema, porque temos duas incógnitas e uma equação só. Vamos procurar outra equação pensando na compressão dos calços.

Vamos chamar as constantes elásticas dos calços de K . Lembra da fórmula da força elástica?

F = K . Δ x

Dá pra aplicar isso aos calços pra achar novas equações. Vamos chamar a compressão de cada calço de Δ y A e Δ y B . Então:

F A = K . Δ y A

F B = K . Δ y B

E qual o tamanho da compressão? Veja essa imagem aqui, imagine que a reta preta representa a barra da questão, e o θ é o ângulo que ela faz quando

Se θ for bem pequeno, sabemos que dá pra dizer que sin ⁡ θ ≅ θ . Ou seja, dá pra fazer a seguinte aproximação:

Δ y = r . θ

Ou sej:

F A = K . ( r a θ )

F B = K . ( r b θ )

Como o θ e o K são iguais nas duas equações:

F A r a = F B r B

Beleza, agora vamos juntar tudo pra matar a questão.

Passo 3

Até agora temos:

F A r a = F B r B

F R = F A r a + F B r b

Que queremos usar pra descobrir F A e F B . Então temos duas equações e duas incógnitas, então dá pra resolver.

Vamos reescrever a primeira equação:

F B = F A r a r b

E substituir na segunda:

F R = F A r a + F A r a r b r b

F R = F A r a + r b 2 r a

F R = F A r a 2 + r b 2 r a

E agora isolando:

F A = R . r a r a 2 + r b 2 F

E fazendo quase a mesma coisa pra achar F B :

F A = R . r b r a 2 + r b 2 F

Beleza, agora é só substituir.

Passo 4

Temos r a = 7,0   c m = 0,07   m e r b = 4,0   c m = 0,04   m , R = 5,0   c m = 0,05   m , e F = 220   N .

F A = R . r a r a 2 + r b 2 F = 0,05 0,07 0,07 2 + 0,04 2 ( 220 ) = 118   N

F B = R . r b r a 2 + r b 2 F = 0,05 0,0 4 0,07 2 + 0,04 2 ( 220 ) = 68   N

Agora ajustando pra dois algarismos significativos:

F A = 1,2.10 2   N

F B = 6,8   .   10   N

Resposta

(a) F A = 1,2 . 10 2   N  

(b) F B = 6,8 . 10   N  

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