Enunciado

A figura mostra um inseto capturado no ponto médio do fio de uma teia de aranha. O fio se rompe ao ser submetido a uma tensão de 8,20 × 10 8   N / m 2 e a deformação correspondente é 2,00 . Inicialmente, o fio estava na horizontal e tinha um comprimento de 2,00   c m e uma área da seção reta de 8,00 × 10 - 12   m 2 . Quando o fio cedeu ao peso do inseto, o volume permaneceu constante. Se o peso do inseto coloca o fio na iminência de se romper, qual é a

massa do inseto? (Uma teia de aranha é construída para se romper se um inseto otencialmente perigoso, como uma abelha, fica preso na teia.)

Passo 1

Fala povo bacana, bora fazer mais uma?

A gente precisa encontrar a massa do inseto, é interessante pra isso fazer um diagrama de corpo livre do fio, pra gente observar o que acontece.

Do equilíbrio vertical do inseto, temos que

m g = 2 T s e n θ

tal que m é a massa do inseto e T a tensão no fio. Lembrando que :

T e n s ã o = F o r ç a Á r e a

Perceba que se tivermos o valor de T e de θ conseguimos encontrar a resposta pedida (massa do inseto). Vamos encontrá-lo raciocinando por partes nos passos seguintes.

Passo 2

Agora,para encontrarmos s e n ( θ ) , vamos nos concentrar no que acontece com o comprimento do fio após a deformação dele. Observando a figura a gente pode encontrar o valor e fazer uma nova relação.

Com o teorema de Pitágoras a gente encontra o Δ y .

Δ y = L 2 2 - L 0 2 2 = 3 L 0 2 2 - L 0 2 2 = 2 L 0

E aí:

s e n θ = 2 ∆ y L = 2 2 × L 0 L

Segundo o enunciado, no momento do rompimento, a deformação equivale a 2 , ou seja:

Δ L L 0 = 2

Então, nesse caso, o comprimento do fio após seu esticamento é dado por:

L = L 0 + Δ L = L 0 + 2 L 0 = 3 L 0

Substituindo esse valor no seno, a gente vai enfim encontrar a relação.

s e n θ = 2 2 × L 0 3 L 0 = 2 2 3

Passo 3

Agora que encontramos uma relação com o ângulo, vamos encontrar a força T e chegaremos a massa do inseto.

Como o volume do fio permanece o mesmo após essa deformação, temos que A 0 L 0 = A L . Então, A = A 0 L 0 L = A 0 3 .

E a tensão no fio é dada por:

T e n s ã o = T A = 3 T A 0

E a força isolada é dada por:

T = T e n s ã o × A 0 3

Passo 4

Lembrando que a massa do inseto é dada por:

m = 2 T s e n θ g

Pois são dois lados do fio, e no caso duas componentes verticais, temos:

m = 2 T s e n θ g = 2 A 0 3 T e n s ã o s e n θ g

Substituindo os valores:

A = 8 × 10 - 12 m 2

T e n s ã o = 8,2 × 10 8 N / m 2  

E o valor de seno encontrado, temos:

m = 2 3 × 8,00 × 10 - 12 m 2 8,20 × 10 8 N m 2 × 2 2 3 ( 9,8 m s 2 ) ≅ 4,21 × 10 - 4 k g

Resposta

4,21 × 10 - 4 k g

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