Enunciado

Uma barra fina de comprimento l repousa sobre o eixo + O x com sua extremidade direita na origem. Um fio puxa a barra com uma força F → dirigida a um ponto P situado a uma distância h acima da barra. Determine o ponto ao longo da barra onde você deve amarrar o fio para obter o torque máximo em torno da origem, se o ponto   P estiver situado

a) acima da extremidade direita da barra;

b) acima da extremidade esquerda da barra;

c) acima do centro da barra.

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... o enunciado nos diz que uma barra fina de comprimento l repousa sobre o eixo + O x com sua extremidade direita na origem.

Um fio puxa a barra com uma força F → dirigida a um ponto P situado a uma distância h acima da barra.

Queremos determinar o ponto ao longo da barra onde você deve amarrar o fio para obter o torque máximo em torno da origem, se o ponto   P estiver situado:

  1. acima da extremidade direita da barra;
  2. acima da extremidade esquerda da barra;
  3. acima do centro da barra.

Passo 2

  1. Show de bola pessoal, esse exercício precisa de um pouco da nossa atenção!! Vamos analisar toda a situação a partir da expressão de módulo do torque τ , dada como:
  2. τ   =   r F sen ⁡ θ

    Onde F é a força, r é o tamanho do braço de alavanca e θ é o ângulo aplicado.

    Pois vamos analisar o torque com uma força aplicada em diferentes distancias e direções da origem.

    Vamos imaginar que a barra esteja sobre o eixo x e essa seja a distância da extremidade esquerda da barra em que a corda está presa, lembrando a extremidade direita está na origem.

    O nosso diagrama fica assim:

    Como a força F → é direcionada ao ponto P , formando um ângulo de 90 ° , o torque será máximo no final da haste, uma vez que pela fórmula do torque   F e   r são grandezas diretamente proporcionais. Opa, já respondemos a letra (a).

    Passo 3

  3. Utilizando a mesma relação do item (a), se o ponto P estiver situado acima da extremidade esquerda da barra, temos a seguinte representação:
  4. Vamos calcular o ângulo pelo seno:

    sen ⁡ θ = cateto oposto hipotenusa

    sen ⁡ θ = h h i p

    Substituindo na fórmula:

    τ   =   x F h h i p

    Masss, como temos um triangulo retângulo, pelo teorema de Pitágoras, sabemos que:

    h i p = x 2 + h 2

    Logo:

    τ   =   x F h x 2 + h 2

    Para que essa função tenha valor máximo, precisamos que:

    x = h

    portanto, a extremidade direita apresenta o torque máximo.

    Passo 4

  5. Já para o centro da barra, temos a seguinte representação:

Fazemos da mesma forma do item (b), calculando o seno:

sin ⁡ θ = h h i p

Substituindo:

τ   =   x F h h i p

Masss, como temos um triangulo retângulo, pelo teorema de Pitágoras:

h i p = x - l 2 2 + h 2

Logo,

τ   = x F   h x - l 2 2 + h 2

Analisando essa fórmula para determinarmos onde o x é máximo, vemos que existem dois modos para aumentar o torque: aumentando o comprimento l da alavanca e aumentando sin ⁡ θ .

Assim, para encontrar um x em que apresenta o ponto máximo, temos que diferenciar τ em relação a x . Logo:

x m a x   =   l 2 1 + 2 h l 2

Prontinho!!

Resposta

a) no final da haste;

b) lado direito da haste;

c) ponto máximo em x m a x   =   l 2 1 + 2 h l 2 .

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