Enunciado

Quando explora um castelo, Exena, a Exterminadora, é surpreendida por um dragão que a persegue pelo corredor. Exena corre para dentro de um quarto e tenta fechar uma porta pesada antes que o dragão entre. A porta está inicialmente perpendicular à parede, de modo que ela deve girar a 90º para fechar. A porta possui altura de 3,0 m e largura de 1,25 m, e pesa 750 N. O atrito das dobradiças pode ser desprezado. Se Exena aplica uma força de 220 N à extremidade da porta e ortogonal a ela, quanto tempo ela leva para fechar a porta?

Passo 1

Para casos em que o eixo possui direção fixa no espaço, temos que:

∑ τ = I α

onde os vetores variam apenas em módulo, mas a direção e o sentido não variam. Essa será a representação utilizada para solucionar o problema.

Abaixo temos uma representação do problema:

O objetivo é descobrir quanto tempo ela leva para fechar a porta, partindo da aceleração angular, o α .

Passo 2

Vamos calcular o torque resultante a partir da força e deslocamento dados.

∑ τ = F l = 220   N 1,25   m = 275   N × m .

Agora vamos calcular o momento de inércia

I = 1 3 M l 2 = 1 3 × 750   N 9,8   m / s 2 × ( 1,25   m ) 2 = 39,9   k g × m 2

Substituindo na primeira equação do passo 1, temos

275   N × m = 39,9   k g × m 2 α  

α = 6,89   r a d / s 2

Pronto, achamos a aceleração! Agora trabalharemos com o ângulo, transformando 90° em radianos.

θ - θ 0 = 90 ° π   r a d 360 ° = π 2 r a d

Agora vamos lembrar da fo´rmula do movimento circular uniforme:

s = s 0 + v 0 t + 1 2 α t 2

Podemos perceber como se assemelha ao problema que estamos resolvendo, onde o deslocamento será angular e, portanto,

s - s 0 = v 0 t + 1 2 α t 2

θ - θ 0 = ω 0 t + 1 2 α t 2

Como inicialmente a porta esta em repouso, então, ω 0 = 0

π 2 r a d = 1 2 α t 2

t = 2 ( π 2 r a d ) α

t = π   r a d 6,89   r a d / s 2

t = 0,455   = 0,675   s

Resposta

Resposta: t = 0,455   = 0,675   s .

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