Enunciado

Uma bola de gude homogênea rola sem deslizar para baixo da trajetória indicada na Figura 10.59, partindo do repouso.

a) Ache a altura mínima h necessária para que a bola de gude não caia na cova.

b) O momento de inércia da bola de gude depende do seu raio. Explique por que a resposta

ao item (a) não depende do raio da bola.

c) Solucione o item (a) para um bloco que desliza com atrito desprezível em vez de uma bola de gude que rola. Como a altura mínima h nesse caso se compara com a resposta

ao item (a)?

Passo 1

Usando o principio de conservação da energia:

U 1 + K 1 = U 2 + K 2

U 1 + 0 = 0 + K 2

m g h = 1 2 m v 2 + 1 2 ( 2 5 M R 2 ) ( v R ) 2

m g h = 1 2 m v 2 + 1 5 ( M R 2 ) ( v R ) 2

g h = 1 2 v 2 + ( 1 5 R 2 ) ( v R ) 2

g h = 7 10 v 2

Então, temos que altura mínima h necessária para que a bola de gude não caia na cova é dada por

h = 7 10 v 2 g

Como v 0 = 0 , substituiremos em

y - y 0 = v 0 t + a 2 t 2

t = 2 ( y - y 0 ) a = 2 ( 20 ) 9,8 = 2,025 s

Assim,

x - x 0 = v x + a t

v x = x - x 0 t = 36 2,02 = 17,8   m / s

Substituindo na equação que achamos para a altura, temos

h = 7 10 ( 17,8 ) 2 9,8 = 22,6   m

Passo 2

O momento de inércia da bola de gude não depende do seu raio, pois como o momento de inércia é proporcional ao raio e a velocidade angular é proporcional a 1 R 2 , então, I ω 2 independe do raio.

Passo 3

Para um bloco que desliza com atrito desprezível em vez de uma bola de gude que rola, temos que o bloco partiria com a mesma velocidade 17,8 m/s, porém, como não há torque, a energia cinética final é K 2 = 1 2 m v 2 . Assim

U 1 = K 2

m g h = 1 2 m v 2

h = v 2 2 g

h = ( 17,8 m / s ) 2 2 ( 9,8 )

h = 16,6   m

Resposta

a)   h   = 22,6   m ;

b) I ω 2 independe do raio;

c) h = 16,6   m .

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