Enunciado

8 . A barra fina vista na Figura 14.8 , cm comprimento l e massa m , oscila como um pêndulo em torno de um eixo à distância b da sua extremidade superior. A ) Escreva a lagrangeana do pêndulo. B ) Calcule a sua frequência natural.

Passo 1

Vem comigo que a gente detona essa questão!

Para escrever a Lagrangeana do sistema temos que saber a energia cinética e potencial desse sistema, já que:

L = T - U

Para descrever o problema vamos usar a coordenada generalizada θ , que é o ângulo de inclinação da barra, já que só com ela conseguimos descrever a posição do pêndulo.

Como o movimento da barra é oscilatório de forma a descrever um movimento circular, temos que a energia cinética é a de rotação, que tem a seguinte forma:

T = 1 2 I ω 2

Nesse caso só temos a energia potencial gravitacional presente, que é da seguinte forma:

U = m g y

Onde y é a posição do centro de massa, então temos que escrever essas equações em termos da nossa coordena generalizada θ .

Para achar a frequência de oscilação desse pêndulo, teremos que escrever a equação de Lagrange para a coordenada θ e analisar o que temos, a equação de Lagrange é da seguinte forma:

d d t d L d q ˙ - d L d q = 0

Vamos ao trabalho!

Passo 2

Primeiro vamos mexer com a energia cinética, temos o seguinte:

T = 1 2 I ω 2

Onde ω é a velocidade angular, então temos que ω = θ ˙ , temos que I é momento de inércia da barra em relação ao eixo de rotação.

Para achar esse momento de inércia teremos que usar o teorema dos eixos paralelos, que tem a seguinte cara:

I = I C M + m d 2

Onde I C M = 1 12 m l 2 que é o momento de inércia da barra em relação a um eixo que passa pelo centro de massa e d é a distância entre o eixo de rotação e o eixo que passa pelo centro de massa, assim:

d = l 2 - b

Então juntando tudo, temos:

I = 1 12 m l 2 + m l 2 - b 2

Passo 3

Sabendo disso temos que a energia cinética é dada por:

T = 1 2 1 12 m l 2 + m l 2 - b 2 θ ˙ 2

= 1 2 m l 2 12 + l 2 4 - l b + b 2 θ ˙ 2

Então temos que:

T = 1 2 m l 2 3 - l b + b 2 θ ˙ 2

Passo 4

Agora vamos mexer com a energia potencial, temos o seguinte:

U = m g y

Onde y é a posição do centro de massa em relação ao eixo de rotação na vertical, assim:

y = - b - l 2 cos ⁡ θ

Com isso temos que:

U = - m g l 2 - b cos ⁡ θ

Então a Lagrangena fica da seguinte forma:

L = 1 2 m l 2 3 - l b + b 2 θ ˙ 2 + m g l 2 - b cos ⁡ θ

Passo 5

Agora vamos escrever a equação de Lagrange para θ . Vamos calcular cada parte da equação separadamente depois juntamos tudo.

d d t d L d θ ˙ - d L d θ = 0

Primeiro vamos calcular d L d θ ˙ , temos:

d L d θ ˙ = m l 2 3 - l b + b 2 θ ˙

Agora vamos calcular d d t d L d θ ˙ , então:

d d t d L d θ ˙ = m l 2 3 - l b + b 2 θ ¨

Agora por último d L d θ , temos:

d L d θ = - m g l 2 - b s en ⁡ θ

Juntando tudo temos:

m l 2 3 - l b + b 2 θ ¨ + m g l 2 - b sen ⁡ θ = 0

⇒ l 2 3 - l b + b 2 θ ¨ + g l 2 - b sen ⁡ θ = 0

Passo 6

Para termos uma visão melhor do que temos em mãos, vamos considerar o regime de pequenos ângulos, assim:

sen ⁡ θ ≈ θ

Assim temos que:

l 2 3 - l b + b 2 θ ¨ + g l 2 - b θ = 0

⇒ θ ¨ + g l 2 - b l 2 3 - l b + b 2 θ = 0

Essa equação é do mesmo tipo que a equação que descreve um oscilador harmônico, então temos que a frequência angular desse pêndulo é dada por:

ω 0 = g l 2 - b l 2 3 - l b + b 2

E usando que ω 0 = 2 π f , temos que a frequência de oscilação é:

f = 1 2 π g l 2 - b l 2 3 - l b + b 2

E com isso terminamos essa questão!

Resposta

A )

L = 1 2 m l 2 3 - l b + b 2 θ ˙ 2 + m g l 2 - b cos ⁡ θ

B )

f = 1 2 π g l 2 - b l 2 3 - l b + b 2

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