Enunciado

Uma barra não condutora carregada, com um comprimento de 2,00   m e uma seção reta de 4,00   c m 2 , está no semieixo x positivo com uma das extremidades na origem. A densidade volumétrica de carga p é a carga por unidade de volume em coulombs por metro cúbico. Determine quantos elétrons em excesso existem na barra (a) se pé uniforme, com um valor de - 4,00   μ C / m 3 ; (b) se o valor de pé dado pela equação ρ   =   b x 2 , em que b   =   - 2,00   μ C / m 5

Passo 1

  1. Nessa questão, nos é apresentada a situação do desenho: uma barra sobre o eixo x com uma certa densidade de carga. Primeiro, como gazer para calcular a carga que essa barra possui se a sua densidade é constante? Vou te mostrar!
  2. De modo geral, imagina que essa barra é formada pela soma de infinitas pequenas barras de carga d q , como mostrado na figura. Essas carguinhassão iguais ao produto da densidade de carga pelo pequenino volume delas. Esse volume é o produto da área transversal pelo comprimento delas. Daí, temos:

    d q   = ρ × d V = ρ × S × d x

    Nesse caso:

    d q = - 4,00 μ C m 3 × 4 × 10 - 4 m 2 × d x

    Passo 2

    Beleza! Agora a gente usa o recurso da integral para encontrarmos essa carga:

    q =   ∫ x = 0 x = 2 m ρ × S × d x = ∫ x = 0 x = 2 m - 4,00 μ C m 3 × 4 × 10 - 4 m 2 × d x

    q = - 4,00 μ C m 3 × 4 × 10 - 4 m 2 × 2 m =   - 32 × 10 - 10 C  

    Mas a questão pede pra gente outra coisa: o excesso de elétrons nessa barra. Para isso, só precisamos então dividir o valor dessa carga pela carga de um elétron para descobrirmos a quantos elétrons equivale essa carga total negativa:

    n = - 32 × 10 - 10 C - 1,6 × 10 - 19 C =   2 × 10 10 elétrons

    Passo 3

  3. Na letra b) a história é um pouco diferente por que a densidade varia com o comprimento da barra: ela não é uniforme nesse caso. Mas não se desespere, por que a resolução não muda muito nesse caso. Nós só precisamos calcular uma integral um pouco diferente, sendo ρ = b x 2   :

q =   ∫ 0 x = 2 m ρ × S × d x = ∫ 0 x = 2 m ( b x 2 ) × S × d x = S × b × x 3 3 |   x = 0 x = 2 m

Fazendo assim, temos:

q = S × b × L 3 3      

Passo 2

Beleza! Daí, agora é só substituirmos os valores nessa expressão e calcularmos o excesso de elétrons como na letra a) :

q = S × b × L 3 3 = 4 × 10 - 4 m 2 × - 2,00 × 10 - 6 C m 5 × 2 3 3 m 3    

q =   - 2,13 × 10 - 9 C

n = q e = 1,33 × 10 10 elétrons

Resposta

  1. 2 × 10 10  
  2. 1,33 × 10 10
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