Enunciado

Da carga Q   que está presente em uma pequena esfera, uma fração α é transferida para uma segunda esfera. As esferas podem ser tratadas como partículas. (a) Para que valor de α o módulo da força eletrostática F entre as duas esferas é o maior possível? Determine (b) o menor e (c) o maior valor de α para o qual F é igual a metade do valor máximo.

Passo 1

E aí! tudo certinho? 😁

Nesse problema temos duas esferas em que inicialmente uma possui carga Q e outra está descarregada. Depois parte da carga Q é passada para a segunda esfera sendo α a fração de carga que foi passada. A partir daí queremos descobrir os valores de α de modo que módulo da força eletrostática F entre as duas esferas seja o maior e o menor possível e tambem o maior valor de α para o qual F é igual a metade do valor máximo.

Tem ideia de como fazer isso? 🤔

Bom, ele nos disse de primeira que tirou de uma esfera uma FRAÇÃO de sua carga, então imagina uma esfera com carga Q , sua nova carga depois dessa retirada será:

q 1 = Q - α Q

Enquanto a outra esfera que inicialmente era neutra, ou seja, sem carga, receberá essa fração da carga Q e ficará com carga igual a:

q 2 = 0 + α Q

q 2 = α Q  

Tranquilo até aqui? 😬

Passo 2

Supondo que as duas esferas estão com uma distância entre si igual a d , ficaremos com o desenho a seguir:

A força eletrostática é dada por:

F = K   .   q 1   .   q 2 d 2

Onde: F é a força eletrostática; K é a constante eletrostática; q 1 é a carga da partícula 1 e vale q 1 =   Q - α Q ; q 2 é a carga da partícula 2 e vale q 2 = α Q e d é a distância entre as duas partículas.

Substituindo na equação da força eletrostática, nós teremos:

F = K Q - α Q ( α Q ) d 2  

A letra (a) pede pra gente o valor máximo dessa força. Como faremos?

Veja só! 👀

Passo 3

Concorda comigo que a força é máxima quando a expressão:

y = Q - α Q ( α Q )

É máxima? SIMMM!

Para isso, vamos derivar essa equação em função de α e igualarmos essa derivada a zero, pois se a gente lembrar lá do cálculo, é assim que vamos ter o ponto onde a função é máxima. Assim, a gente encontra um valor de α correspondente a essa força máxima:

d y d α = α Q 2 - α 2 Q 2 d α = 0

d y d α = Q 2 - 2 α Q 2 = 0

Vamos colocar o Q 2 em evidência:

Q 2 ( 1 - 2 α ) = 0

Como Q é diferente de zero:

( 1 - 2 α ) = 0

Assim:

α = 1 2

Bacana, não é? 😉

Passo 4

Para calcular quanto vale a F m a x , só temos que substituir o valor de α = 1 2 :

F = k Q - α Q α Q d 2

F max ⁡ = K Q - 1 2 Q 1 2 Q d 2

F m a x = K Q 2 4 d 2

Esse é o valor máximo da força.

Passo 5

Qual deve ser o valor de α para que F seja igual a F m a x 2 ?

Igualando essas forças:

F = K Q - α Q α Q d 2 = F m a x 2

K Q - α Q α Q d 2 = K Q 2 8 d 2  

Vamos cortar o d 2 dos dois lados:

Q - α Q α Q = Q 2 8

Realizando a multiplicação:

α Q 2 - α 2 Q 2 =   Q 2 8

Colocando Q 2 em evidência:

Q 2 ( α - α 2 ) =   Q 2 8

Podemos cortar esse elemento dos dois lados:

α - α 2 = 1 8

Estamos quase lá! 😊

Passo 6

Dessa expressão, a gente tem como resultado uma equação do segundo grau em α :

α 2 - α + 1 8 = 0

Calculando as raízes, a gente encontra:

α = 1 ± - 1 2 - 4.1 . 1 8 2

α = 1 ± 1 - 1 2 2

α = 1 ± 1 2 2

α = 1 ± 0,707 2

Encontraremos duas raízes positivas que sevem como a taxa que estamos procurando:

α 1 = 0,854

α 2 = 0,147

que são o maior e o menor valor de α pedidos nas letras c) e b).

E aí! o que achou? Responde Aí! 😉

Resposta

a) 0,5

b) 0,854

c) 0,147

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Cargas pontuais de + 6,0 μ C e - 4,0 μ C são mantidas fixas no eixo x nos pontos x = 8,0 mex = 16m , respectivamente. Que carga deve ser colocada no ponto x = 24m para que a força eletrostática total
Na Fig. 21-25, a partícula 1, com uma carga de - 80,0 μ C , e a partícula 2 , com uma carga de + 40 μ C , são mantidas fixas no eixo x , separadas por uma distância L = 20,0c m . Em termos dos vetores
N a Fig. 21 - 42 , seis partículas carregadas cercam a partícula 7 a uma distância de d = 1,0c m ou 2 d , como mostra a figura. As cargas são q 1 = + 2 e , q 2 = + 4 e , q 3 = + e , q 4 = + 4 e , q 5
Da carga Q que está presente em uma pequena esfera, uma fração α é transferida para uma segunda esfera. As esferas podem ser tratadas como partículas. (a) Para que valor de α o módulo da força eletros
The Na descarga de retorno de um relâmpago típico, uma corrente de 2,5 × 10 4 A é mantida por 20 μ s . Qual é o valor da carga transferida?