Enunciado

Uma barra de vidro. Ambas as extremidades de uma barra com índice de refração 1,60 são polidas de modo a formar duas superfícies hermisféricas convexas. O raio de curvatura da extremidade esquerda é igual a 6,0   c m e o raio de curvatura da extremidade direita é igual a 12,0   c m . O comprimento da barra entre os vértices é igual a 40,0   c m . O objeto para a superfície da extremidade esquerda é uma seta situada a 23,0   c m à esquerda do vértice dessa superfície. A seta possui uma altura de 1,50   m m e está localizada perpendicularmente ao eixo da barra. (a) Qual é o objeto para a superfície da extremidade direita da barra? (b) Qual é a distância do do objeto para essa superfície? (c) O objeto para essa superfície é real ou virtual? (Sugestão: veja o Problema 34.69) (d) Qual é a posição da imagem final? (e) A imagem final é real ou virtual? Ela é direita ou invertida em relação ao objeto original? (f) Qual é a altura da imagem final?

Passo 1

(a) O primeiro passo é fazer um desenho da situação:

Beleza. Próxima etapa é responder o seguinte: qual é o objeto para a extremidade direita da barra?

Bom, a superfície da esquerda vai gerar uma imagem do objeto, e essa imagem vai ser o “objeto” do ponto de vista da superfície direita.

Passo 2

(b) Agora queremos calcular a distância da primeira imagem até a superfície direita.

Só lembrando: estamos falando da imagem que a superfície esquerda forma. Então beleza, vamos calcular.

Já que estamos tratando de meios com índices de refração diferentes, vamos usar essa fórmula aqui:

n a s + n b s ' = n b - n a R

E todos os valores dessa fórmula já estão lá no desenho, menos a posição s ' da imagem, que a gente quer calcular:

1,00 23,0 + 1,60 s ' = 1,60 - 1,00 6,0

1,60 s ' = 0,6 6,0 - 1,00 23,0

1,60 s ' = 0,0565

s ' = 28,3   c m

Ou seja, a imagem está a 28,3   c m do vértice V 1 . Então a distância até a superfície da direita é:

d = 40,0 - 28,3 = 11,7   c m

Passo 3

(c) Essa imagem que está a 11,7   c m da superfície direita vai servir como objeto para ela.

Esse objeto é real, porque está do mesmo lado dos raios que vão sair para gerar uma nova imagem depois que interagirem com a superfície direita.

Pra podermos fazer o desenho, dá até pra calcular se esse “objeto” vai ser invertido ou direito:

m 1 = - n a s ' n b s = - 1,00 28,3 1,60 23,0 = - 0,769

Como o valor é negativo, então o “objeto” é invertido:

Passo 4

(d) Agora vamos calcular a posição da imagem final, que é formada quando a “Imagem 1” do nosso desenho é projetada na superfície da direita.

É só usar a mesma fórmula de antes, e os dados que estão no desenho:

1,60 11,7 + 1,00 s ' = 1,00 - 1,60 - 12,0

O raio de curvatura é negativo porque agora o objeto está do mesmo lado do centro de curvatura da superfície (antes ele estava fora).

Vamos resolver a equação para encontrar s ' :

1,60 11,7 + 1,00 s ' = 0,05

s ' = 1,00 - 0,868 ≈ - 11,5   c m

Já que o sinal é negativo, então a imagem (Imagem Final) está do mesmo lado do objeto (Imagem 1):

Passo 5

(e) Já que s ' < 0 , então a imagem final é virtual.

Vamos calcular também a ampliação nesse último processo:

m 2 = - n a s ' n b s = - 1,60 - 11,5 1,00 11,7 = 1,57

Como a ampliação é positiva, então a imagem final mantém a mesma orientação da Imagem 1, que era invertida.

Isso quer dizer que a imagem final é invertida em relação ao objeto original.

Passo 6

Pelo que a gente calculou até aqui, no primeiro processo a ampliação era:

m 1 = - 0,769

E no segundo processo é:

m 2 = 1,57

Isso quer dizer que a ampliação total é:

m = m 1 m 2

m = - 0,769 1,57 = - 1,21

E como o objeto original tinha altura y = 1,50   m m , a altura da imagem final é:

y ' = m y

y ' = - 1,21 1,50   m m = - 1,82   m m

O sinal negativo só diz que ela é invertida.

Resposta

(a) O objeto para a superfície da extremidade direita é a imagem produzia pela extremidade esquerda.

(b) A distância é de 11,7   c m .

(c) O objeto é real para a superfície direita.

(d) A imagem final está 11,5   c m à esquerda da superfície direita.

(e) A imagem final é virtual e invertida em relação ao objeto original.

(f) A imagem final tem 1,82   m m .

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