Enunciado

Um bastão fino uniforme e não condutor, om massa m e comprimento L , tem carga uniforme por unidade de comprimento λ e gira com rapidez angular ω em torno de um eixo que passa por uma extremidade e que é perpendicular ao bastão. (a) Considere um pequeno segmento do bastão de comprimento d x e carga d q = λ   d x a uma distância x do pivô (Figura 26-39). Mostre que a corrente média criada pelo movimento pelo movimento deste segmento é ω 2 π d q e mostre que o momento magnético deste segmento é 1 2 λ ω x 2 d x . (b) Use isso para mostrar que a magnitude do momento magnético do bastão é 1 6 λ ω L 3 . (c) Mostre que o momento magnético μ → e o momento angular L → estão relacionados por μ → = Q 2 m L → , onde Q é a carga total do bastão.

Passo 1

O elemento de carga d q = λ d x executa um movimento circular de raio x . O tempo para dar uma volta completa é

T = 2 π ω

Assim, a corrente associada a esse movimento é

d I = d q T = d q 2 π / ω = ω 2 π d q

Desta forma,

d I = ω λ 2 π d x

Passo 2

O momento magnético associado a essa porção do fio é dado por

d μ = d I   A = π x 2   d I

Assim,

d μ = π x 2 ω λ 2 π   d x → d μ = 1 2 λ ω x 2   d x

Passo 3

Para achar o momento magnético total, temos que integrar de 0 até L :

μ = 1 2 λ ω ∫ 0 L x 2   d x = 1 2 λ ω x 3 3 0 L  

Logo,

μ = 1 6 λ ω L 3

Passo 4

Para terminar temos que relacionar μ → com o vetor momento angular L → . Cuidado para não confundir L → com L , o enunciado não foi feliz na escolha das letras...

O momento angular é dado em função do momento de inércia I por

L → = I ω → → ω → = L → I

Já o momento magnético é

μ → = λ L 3 6 ω →

Portanto,

μ → = λ L 3 6 L → I

O momento de inércia da barra com relação ao eixo é dado por

I = 1 3 m L 2

Se você não lembrar disso, dá uma olhadinha nos resumos de física 1. Com isso,

λ L 3 6 I = λ L 3 6 ⋅ 1 3 m L 2 = λ L 2 m

Mas a carga total é dada por

Q = λ L

Assim,

μ → = Q 2 m L →

Resposta

Demonstração.

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