Enunciado

Uma bola de gude de 10,0   g desloca-se com velocidade de 0,400   m / s da direita para a esquerda sobre uma pista horizontal sem atrito e colide frontalmente com outra bola de gude de 30,0   g que se desloca com velocidade de 0,200   m / s   da esquerda para a direita (Figura 8.38).

a) Determine o módulo, a direção e o sentido de cada bola de gude depois da colisão. (Como a colisão é frontal, todos os movimentos ocorrem ao longo da mesma linha reta.)

b) Calcule a variação do momento linear (isto é, o momento linear depois da colisão menos o momento linear antes da colisão) para cada bola de gude. Compare os valores obtidos para cada bola de gude.

c) Calcule a variação de energia cinética (isto é, a energia cinética depois da colisão menos a energia cinética antes da colisão) para cada bola de gude. Compare os valores obtidos para cada bola de gude.

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar (a) o módulo, a direção e o sentido de cada bola de gude depois da colisão, (b) a variação do momento linear para cada bola de gude e (c) a variação de energia cinética para cada uma.

Pra isso, vamos considerar o princípio de conservação do momento linear e calcular a velocidade de cada bola depois da colisão. Em seguida, vamos calcular a variação do momento linear, que é o momento linear depois da colisão menos o momento linear antes da colisão. Por fim, vamos fazer a energia cinética depois da colisão menos a energia cinética antes da colisão para obter a variação de energia cinética Δ K .

Vamos lá!

Passo 2

a) Dado que a colisão acontece somente em um eixo, que é o x , para descobrirmos a velocidade das bolinhas após a colisão, basta que utilizemos a lei de conservação do momento linear, uma vez que é uma lei que relaciona as massas das bolinhas com suas velocidades, que é o que queremos descobrir. Assim, temos que:

p 1 x = p 2 x

E como p x = m v x , então teremos o seguinte:

m A ∙ v A 1 x + m B ∙ v B 1 x = m A ∙ v A 2 x + m B ∙ v B 2 x

No qual os termos significam:

m B = 10.10 - 3   k g = massa da segunda bolinha;

m A = 30.10 - 3   k g = massa da primeira bolinha;

v B 1 x = - 0,400   m / s = velocidade inicial da segunda bolinha;

v A 1 x = 0,200   m / s =   velocidade inicial da primeira bolinha.

v A 2 x =   ? = velocidade final da primeira bolinha;

v B 2 x =   ? = velocidade final da segunda bolinha.

Se substituirmos os valores nas incógnitas, teremos:

30 ∙ 10 - 3 ∙ 0,200 +   10 ∙ 10 - 3 ∙ - 0,400 = 30 ∙ 10 - 3 ∙ v A 2 x + 10 ∙ 10 - 3 ∙ v B 2 x

3 v A 2 x + v B 2 x = 0,200   m / s

Como temos duas incógnitas, então agora temos o dever de encontrar outra expressão com essas duas mesmas incógnitas para que, assim, possamos determinar seus valores utilizando um sistema de equações ou algo do tipo, ok?

Passo 3

Do capítulo 8 do Young, temos que quando há uma colisão retilínea e elástica entre dois corpos, a velocidade relativa antes da colisão é igual e contrária à velocidade relativa depois da colisão. Sendo assim, temos que:

v B 2 x - v A 2 x = - v B 1 x - v A 1 x

Substituindo os valores, teremos:

v B 2 x - v A 2 x = - - 0,400 - 0,200

v B 2 x - v A 2 x = 0,600   m / s

Que nos leva ao sistema de equações:

3 v A 2 x + v B 2 x = 0,200   v B 2 x - v A 2 x = 0,600

Passo 4

Resolvendo o sistema acima, teremos os seguintes valores para v A 2 x e v B 2 x :

v A 2 x = - 0,100   m / s

v B 2 x = 0,500   m / s

O sentido da primeira bola de gude é para a esquerda, o que explica o sinal de negativo no valor de sua velocidade. Já o sentido da segunda bola de gude é para a direita.

Passo 5

b) Para a primeira bolinha de gude, temos o seguinte:

∆ p A x = m A ∙ v A 2 x - m A ∙ v A 1 x

Substituindo os valores, temos:

∆ p A x = 30 ∙ 10 - 3 - 0,100 - 0,200

∴ ∆ p A x = - 0,00900   k g ∙ m / s

Para a segunda bolinha de gude, temos o seguinte:

∆ p B x = m B ∙ v B 2 x - m B ∙ v B 1 x

Substituindo os valores, temos:

∆ p B x = 10 ∙ 10 - 3 0,500 - ( - 0,400 )

∴ ∆ p B x = 0,00900   k g ∙ m / s

Os valores nos levam a conluir que a variação de momento linear para ambos é a mesma. No entanto, o que difere é apenas o sentido em que seguem após a colisão.

Passo 6

c) Agora considerando a energia cinética de cada uma, para a primeira bolinha de gude, temos o seguinte:

∆ K A = 1 2 m A ∙ v A 2 x 2 - 1 2 m A ∙ v A 1 x 2

Substituindo os valores, teremos:

∆ K A = 1 2 ∙ 30 ∙ 10 - 3 ∙ 0,100 2 - 1 2 ∙ 30 ∙ 10 - 3 ∙ 0,200 2

∴ ∆ K A = - 4,5 ∙ 10 - 4   J

Para a segunda bolinha de gude, temos o seguinte:

∆ K B = 1 2 m B ∙ v B 2 x 2 - 1 2 m B ∙ v B 1 x 2

Substituindo os valores, teremos:

∆ K B = 1 2 ∙ 10 ∙ 10 - 3 ∙ 0,500 2 - 1 2 ∙ 10 ∙ 10 - 3 ∙ ( 0,400 ) ²

∴ ∆ K B = 4,5 ∙ 10 - 4   J

Assim como na letra anterior, os resultados nos levam a concluir que, em módulo, as bolinhas apresentaram exatamente a mesma quantidade de variação de energia cinética.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

a)   v A 2 x = - 0,100   m / s

v B 2 x = 0,500   m / s

b) ∆ p A x = - 0,00900   k g . m / s

∆ p B x = 0,00900   k g . m / s

c) ∆ K A = - 4,5.10 - 4   J

∆ K B = 4,5.10 - 4   J

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