Enunciado

Um bloco de 1,0   k g oscila preso a uma mola com constante elástica de 20   N / m . Em t = 0   s , o bloco encontra-se 20   c m à direita da posição de equilíbrio, movendo-se para a esquerda com uma velocidade de 100   c m / s . Determine o período de oscilação e desenhe um gráfico posição versus tempo.

Passo 1

Bom, como não tem atrito do bloco com qualquer superfície ou o ar, a gente pode usar a conservação de energia para movimento harmônico envolvendo uma mola:

E = 1 2 k A 2 = 1 2 m v x 2 + 1 2 k x 2

O que está escrito nessa equação é que a energia mecânica total E precisa ser igual à soma do lado esquerdo sempre, e nesse caso E pode ser escrito como:

E = 1 2 k A 2

Passo 2

Como a gente precisa da amplitude para encontrarmos o período e escrevermos o gráfico, vamos isolar A :

A = m v x 2 k + x 2

Agora a gente substitui cada valor que o enunciado deu:

A = 1,0   k g 1   m / s 2 20   N / m + 0,2   m 2

A = 0,3   m

Passo 3

Com a amplitude, podemos encontrar a velocidade máxima que o bloco pode atingir. A velocidade vai ser máxima exatamente quando o bloco passar pela posição de equilíbrio, porque ali toda a energia potencial da mola foi transformada em energia cinética, e a mola não está mais tensionada.

Nesse caso a equação de energia fica:

E = 1 2 k A 2 = 1 2 m v m a x 2 + 1 2 k ( 0 ) 2

1 2 k A 2 = 1 2 m v m a x 2

E como agora a gente tem a amplitude, basta isolarmos a velocidade máxima:

v m a x = k A 2 m

Substituindo cada valor:

v m a x = ( 1,5   N / m ) ( 0,3   m ) 2 1,0   k g

v m a x = 0,67   m / s

Passo 4

Mas para que encontramos a velocidade máxima?

No movimento harmônico simples, a velocidade máxima de um movimento é dada por:

v m a x = ω A

E com esse ω a gente pode achar o período das oscilações:

ω = 2 π T

v m a x = 2 π T A

Isolamos T :

T = 2 π A v m a x

E substituímos os valores que temos:

T = 2 π ( 0,3   m ) ( 0,67   m / s ) = 2,81   s

Esse vai ser o período das oscilações.

Passo 5

E para o nosso gráfico, basta usarmos a equação de movimento harmônico simples, mas antes precisamos encontrar o valor da fase para escrever ela para o bloco:

x t = A c o s ( ω t + ϕ 0 )

Como já temos A e T , a gente já pode substituir:

x t = 0,3   m c o s 2 π t 2,81   s + ϕ 0

Agora para a fase, a gente substitui x = 20   c m quando t = 0   s que foi o que o enunciado deu para a gente:

x 0   s = 0,3   m c o s 2 π ( 0   s ) 2,81   s + ϕ 0 = 20   c m

0,3   m c o s ϕ 0 = 20   c m = 0,2   m

c o s ϕ 0 = 0,2 0,3 = 0,66667

Usando a função arco:

ϕ 0 = arccos ⁡ 0,66667

ϕ 0 = 0,84

Essa vai ser a fase (em radianos), substituindo na equação de movimento harmonico para o bloco:

x t = 0,3   m c o s 2 π t 2,81   s + 0,84

Agora a gente tem uma equação pronta para fazermos o gráfico, ele vai ficar assim:

Com o eixo vertical sendo a posição x em metros e o horizontal o tempo t em segundos.

Resposta

T = 2,81   s

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