Enunciado

a. Quando o deslocamento de uma massa presa a uma mola é 1 2 A , que fração da energia corresponde à energia cinética e que fração corresponde à energia potencial?

b. Para que deslocamento, como fração de A , a energia é metade cinética e metade potencial?

Passo 1

a) O enunciado pede para escrevermos, para um dado deslocamento em relação ao ponto de equilíbrio da mola, a parcela da energia mecânica total está sendo usada para o movimento do bloco (energia cinética) ou para a tensão na mola (energia potencial).

Passo 2

Vamos começar escrevendo a energia potencial elástica:

U e l = 1 2 k x 2

Como a questão deu para a gente o deslocamento em relação ao ponto de equilíbrio, podemos substituir ele em x :

U e l = 1 2 k 1 2 A 2

Tirando do quadrado:

U e l = 1 2 k 1 4 A 2

U e l = 1 8 k A 2

Passo 3

Mas a gente sabe que a energia mecânica total para qualquer sistema massa-mola é:

E = 1 2 k A 2

Então podemos escrever a energia potencial elástica como uma fração da energia mecânica total:

U e l = 1 4 1 2 k A 2 = 1 4 E

O resto da energia precisa ser cinética já que para o nosso sistema:

E = U e l + K

E = 1 4 E + K

K = 3 4 E

Onde K vai ser a energia cinética

Passo 4

b) Nesse caso, o enunciado já deu para a gente quanto cada energia “usa” da energia mecânica total, metade dessa energia vai para a cinética e metade para a potencial elástica:

1 2 E = K

1 2 E = U e l

Agora a gente substitui E na segunda equação:

1 2 1 2 k A 2 = 1 2 k x 2

Simplificamos:

1 2 A 2 = x 2

x = A 1 2

Quando x for 1 2 do valor da amplitude, a energia cinética e a energia potencial elástica terão, cada uma, metade da energia mecânica total. Em outras palavras, elas serão iguais.

Resposta

a )   U e l = 1 4 E

K = 3 4 E

b )   x = A 1 2

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