Enunciado

Um bloco de 200 g é pressionado contra uma mola de constante elástica de 1,40 kN/m até comprimi-la 10,0 cm. A mola repousa na base de uma rampa inclinada a 60,0º com a horizontal. Usando considerações de energia, determine que distância o bloco se move para cima na inclinação a partir de sua posição inicial antes de parar (a) se a rampa não exerce força de atrito sobre o bloco e (b) se o coeficiente de atrito cinético é 0,400.

Passo 1

Vamos primeiro ver um esboço da situação:

(a)Desconsiderando o atrito, a gente pode dizer que toda a energia potencial elástica na mola vai se converter em energia potencial gravitacional pro bloco quando a mola for solta, sem perdas de energia, certo?

Vamos escrever isso matematicamente:

U e m o l a = U g ( b l o c o )

k ∙ ∆ x 2 2 = m ∙ g ∙ h

Aplicando os dados que a gente conhece, observando as unidades sempre, e considerando g = 9,8   m / s 2 , vamos ter o seguinte:

1,40 ∙ 10 3 ∙ 0,010 2 2 = 0,200 ∙ 9,8 ∙ h

h = 1,40 ∙ 10 3 ∙ 0,010 2 2 ∙ 0,200 ∙ 9,8 = 10 3 ∙ 10 - 2 2 0 , 4 00 ∙ 7

h = 10 3 ∙ 10 - 4 2,8 = 10 - 1 2,8 ≅ 0,036   m

Esse é o valor da altura atingida verticalmente pelo bloco na subida pela rampa.

Se a gente quer saber a distância d que ele percorreu na rampa em si, precisamos usar um pouco de trigonometria. A situação é essa:

A gente tem esse triângulo retângulo na figura formado pela rampa (hipotenusa), pelo chão e pela altura h atingida pelo bloco (catetos).

Sabendo o ângulo entre a rampa e o chão, a gente pode usar o seno do ângulo pra determinar o tamanho da hipotenusa! A gente tem:

sen ⁡ 60 ° = 0,036 d

Isolando d , temos:

∴ d = 0,036 sen ⁡ 60 ° = 0,036 3 / 2 ≅ 0,041   m

Passo 2

(b)Agora, a gente faz a mesma coisa, só que uma parte da energia potencial elástica da mola, ao ser transferida pro bloco, é perdida por atrito.

Então precisamos descontar a parcela do trabalho da força de atrito, W a t , da energia potencial elástica inicial. A gente escreve isso aqui:

U e m o l a - W a t = U g ( b l o c o )

Sendo a formulinha pro trabalho do atrito W a t = F a t ∙ d , onde d é o deslocamento total do bloco e F a t é a força de atrito (sendo F a t = N ∙ μ ), a gente tem:

k ∙ ∆ x 2 2 - N ∙ μ ∙ d = m ∙ g ∙ h

Bom, antes de seguir, a gente precisa saber quem é a força normal N . Pra isso, vamos usar um pouco de decomposição de vetores. Olha esse esqueminha:

As setinhas pontilhadas são as decomposições do vetor força peso m ∙ g do bloco, tomando como referência a inclinação da rampa.

Pensa comigo: se o bloco não “afunda” na rampa e nem flutua a partir da rampa, é porque, necessariamente, N e m ∙ g ∙ cos ⁡ 60 ° são iguais em módulo, e se cancelam!

Com isso a gente consegue substituir N por m ∙ g ∙ cos ⁡ 60 ° na última expressão que escrevemos! A gente fica assim:

k ∙ ∆ x 2 2 - m ∙ g ∙ cos ⁡ 60 ° ∙ μ ∙ d = m ∙ g ∙ h

Mas, ainda tem um probleminha: a gente ficaria com duas incógnitas: d e h . Mas resolver isso é fácil, uma vez que essas medidas se correlacionam por um triângulo retângulo como a gente viu no Passo 1. Assim, a relação entre d e h vale:

h = d ∙ cos ⁡ 60 °

Maravilha? Agora a gente substitui h por essa expressão na equação maior e vamos determinar d !

Passo 3

Ficamos assim:

k ∙ ∆ x 2 2 - m ∙ g ∙ cos ⁡ 60 ° ∙ μ ∙ d = m ∙ g ∙ d ∙ cos ⁡ 60 °

Vamos passar - m ∙ g ∙ cos ⁡ 60 ° ∙ μ ∙ d pro outro lado da igualdade e colocar o que for possível em evidência:

k ∙ ∆ x 2 2 = m ∙ g ∙ d ∙ cos ⁡ 60 ° + m ∙ g ∙ cos ⁡ 60 ° ∙ μ ∙ d

k ∙ ∆ x 2 2 = m ∙ g ∙ d ∙ cos ⁡ 60 ° ∙ 1 + μ

Agora, vamos isolar d em um lado da igualdade e inserir os dados que a gente tem!

d = k ∙ ∆ x 2 2 ∙ m ∙ g ∙ cos ⁡ 60 ° ∙ 1 + μ

d = 1,40 ∙ 10 3 ∙ 0,010 2 2 ∙ 0,200 ∙ 9,8 ∙ 3 / 2 ∙ 1 + 0,400

Jogando esse monstrinho na calculadora, a gente resulta em:

∴ d ≅ 0,029   m

Assim a gente verifica que, realmente, a distância alcançada foi menor, já que parte da energia potencial elástica foi perdida na forma de calor pelo atrito!

Resposta

(a) d = 0,041   m

(b) d = 0,029   m

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