Enunciado

46. Uma menina de massa m está levando um lanche para o piquenique da avó. Ela amarra uma corda de comprimento R , ao galho de uma árvore, sobre um riacho, e começa a se balançar, a partir do repouso, de um ponto que é R / 2 mais baixo do que o galho. Qual a menor tensão de ruptura que a corda pode ter para não se romper atirando a menina no riacho ?

Passo 1

A primeira coisa a se fazer para resolver a questão é olhar a sua estrutura. Bem, o enunciado diz que há uma menina se balançando numa árvore em uma corda de comprimento R , e pede a menor tensão de ruptura para que a corda não se rompa. Isso cheira, a questão de pêndulo. E, se aprendemos bem, a primeira coisa que temos que fazer nesse tipo de exercício é representar a situação em uma imagem:

Que beleza! Agora as coisas vão começar a ficar mais claras.

O próximo passo, agora é definir qual será a nossa linha zero de energia potencial, a origem do nosso referencial. Como o que a gente quer é facilidade, vamos fazer o óbvio e escolher o ponto mais baixo de balanço como nossa origem.

Vamos aos cálculos:

Passo 2

Escolhido nosso referencial e entendido o que nosso problema quer, só nos resta agora, fazer o que é praxe em questões envolvendo pêndulos. Isso mesmo! Aplicar a Segunda Lei de Newton na direção radial, que diz que:

∑ F r a d i a l = m a r a d i a l

Temos, então da figura do P a s s o   1   que:

T - m g = m a r a d i a l

Só que esse a r a d i a l é a velha e conhecida aceleração centrípeta:

T - m g = m v 2 R

Pronto, conseguimos a primeira equação. Agora, vamos prosseguir e dar início ao próximo passo

Passo 3

Adivinha o que vem aí? Isso mesmo, o princípio da conservação da energia mecânica. Uma vez que não tem forças externas atuando no nosso sistema, então a energia mecânica do ponto mais baixo é igualzinha a energia do ponto mais alto da trajetória da garota:

E m , p o n t o   m a i s   b a i x o = E m , p o n t o   m a i s   a l t o

m g h p o n t o   m a i s   a l t o = m v 2 2

Só que h p o n t o   m a i s   a l t o = R / 2 .

m g R 2 = m   v 2 2

v 2 = g R

Espera um pouco! Se v 2 = g R   e obtemos a seguinte relação, lá no P a s s o   2 : T - m g = m v 2 R

Então:

T - m g = m g R R

T = 2 m g

Resposta

A menor tensão é T = 2 m g .  

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