Enunciado

Um bloco de massa m = 10   K g é solto em repouso do alto de um plano inclinado de 45 ° em relação ao plano horizontal, com coeficiente de atrito cinético μ c = 0,5 . Depois de percorrer uma distância d=2m ao longo do plano, o bloco colide com uma mola de constante k=800 N/m, de massa desprezível, que se encontrava relaxada. a) Qual é a compressão sofrida pela mola? b) Qual é a energia dissipada pelo atrito até a compressão máxima da mola? Que fração representa da variação total de energia potencial durante o trajeto? c) Se o coeficiente de atrito estático com o plano é μ c = 0,8 , que acontece com o bloco logo após colidir com a mola?

Passo 1

  1. Pra saber a compressão da mola é preciso saber nossa energia mecânica no ínicio da compressão, beleza? Então bora dividir o problema em 2 etapas.
  • Antes da mola
  • Vamos lá, a energia mecânica inicial é perdida em parte devido ao atrito, colocando isso em uma fórmula fica assim

    Δ E = W f a t

    E f - E i = W f a t

    E f = E i + W f a t  

    Sabemos que o trabalho do atrito é dissipativo e portanto negativo na nossa fórmula, de modo que a energia mecânica final é menor. A energia mecânica inicial era só gravitacional, então fica assim

    E f = m g h - m g d μ c c o s 45 °

    Como h = d s e n 45 ° vamos substituir na fórmula de cima e colocar o que tem em comum em evidência,

    E f = m g d (   s e n 45 ° - μ c c o s 45   ° )

    Apenas substituindo os valores que temos, concluímos que

    E f = 10 .   9,8   .   2   ( 1 2 - 0.5 2 )

    = 69,3   J

  • Interação com a mola
  • Aqui a variação da energia mecânica da nossa massa ocorrerá devido ao atrito e à transferência de energia para a mola se comprimir, show? Então temos

    Δ E = W f a t - U e l     ( 1 )

    Se liga que aqui nossa energia mecânica final é só energia potencial gravitacional, já que queremos a compressão máxima da mola, ou seja, quando a velocidade do bloquinho chegar a 0 e K = 0 .

    Δ E = E f - E i

    = U g - 69,3

    Pra gente não se confundir vamos pensar agora que na posição de equilíbrio da mola o potencial gravitacional é 0, então se o bloquinho desceu uma altura h até a compressão total da mola seu deslocamento foi de - h  

    U g = m g ( - h )

    Portando a variação de energia mecânica é

    Δ E   = - m g h - 69,3  

    Usando a mesma relação entre a altura e o deslocamento x no plano temos h = x s e n 45 °

    Δ E   = - m g x s e n 45 ° - 69,3

    Além disso tudo aí, o resto da equação ( 1 ) fica assim

  • W f a t =   - m g x μ c c o s 45 °
  • U e l = 1 2 k x 2

- m g x s e n 45 ° - 69,3 = - m g x μ c c o s 45 ° - 1 2 k x 2

Escrevendo no formato de equação de segundo grau,

1 2 k x 2 + m g x μ c c o s 45 ° - s e n 45 ° - 69,3 = 0

a = 1 2 k = 400

b = m g μ c c o s 45 ° - s e n 45 ° = - 34,6  

c =   - 69,3

x = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

= 0,46   m

Passo 2

  • A energia total dissipada pelo atrito é a seguinte
  • W f a t = m g c o s 45 ° μ c .   d t o t a l

    d t o t a l = 2 + x

    = 2 + 0,46  

    = 2,46   m

    W f a t = 9,8 .   10 .   0,5 2   2,46

    = 85,2   J

    Passo 3

  • Δ U = m g h = m g d t o t a l s e n 45 °
  • W f a t Δ U = m g c o s 45 ° d t o t a l .   μ c m g s e n 45 ° d t o t a l    

    = μ c

    = 0,5      

    Passo 4

  • Aqui a gente só precisa analisar qualitativamente o movimento do bloco galera, tipo asism, dizer se ele vai subir ou ficar parado. Pra isso é só a gente ver pra onde tá a força resultante do sistema! Cola aqui
  • F r = P x + F a t - F e l

    = m g s e n 45 ° + m g μ e c o s 45 ° - k x

    = 9,8   .   10 1 2 + 0,8 2 - 800   .   0,46

    =   - 243   N

    Por esse resultado vemos que a força elástica é bem maior que o atrito estático e a componente x do peso, jogando o bloco de volta pra cima do plano.

    Resposta

    a ) 0,46   m

    b ) 85,2   J

    c )   0,5

    d )   o   b l o c o   s o b e   d e   n o v o

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