Enunciado

Um garotinho esquimó desastrado escorrega do alto do seu iglu, um domo esférico de gelo de 3m de atura. a) De que altura acima do solo ele cai? b) A que distância da parede do iglu ele cai?

Passo 1

  1. Pessoal, vamos primeiro observar um esquema do problema pra entendermos melhor, ok?
  2. O menino quando está num ponto qualquer da trajetória tem duas forças atuantes em seu corpo, o peso e a normal , vamos lá escrever as equações

    P r a d i a l = P c o s θ

    F r e s = P r a d i a l - N

    = P c o s θ - N

    Se queremos avaliar o momento em que ele escorrega do iglu, quer dizer que ele perde contato com a superfície do gelo e isso significa que a força normal é igual a 0, fechou?

    F r e s = m g c o s θ

    Como essa força é a resultante centrípeta temos o seguinte

    F c p = m g c o s θ

    m v 2 R = m g c o s θ

    v 2 h 0 = g c o s θ

    v = g h 0 c o s θ

    Para a gente saber a altura em que isso acontece vamos ver o trabalho que a força gravitacional exerceu até chegar nessa velocidade.

    W g = Δ K

    m g Δ h = m v 2 2 - 0

    m g h 0 - h = m g h 0 c o s θ 2

    m g h 0 - h 0 c o s θ 2 = m g h

    h = h 0 - h 0 c o s θ 2

    Putz... e agora? Esse ângulo ai como que é que faz, finge que não existe? Não, hehe. Vamos olhar pro nosso esqueminha lá em cima. Sabemos que pelo triângulo h = R c o s θ = h 0 c o s θ

    h = h 0 - h 2

    h = 2 3 h 0 = 2 3 . 3

    = 2   m

    Passo 2

  3. Vamos viajar de volta pros capítulos iniciais e resolver essa parada, mas antes precisamos saber da velocidade na hora em que o garoto perdeu o contato com o iglu. Mas, felizmente a gente já calculou isso!

v 2 = g h 0 c o s θ = g h

v = g h

= 4,43   m / s

OK, mas não acabou ainda... a gente vai ter que descobrir θ pra decompor nossas velocidades.

h = h 0 c o s θ

2 = 3 c o s θ

c o s θ = 2 3

θ = a r c o s 2 3

= 48,19 °

Olha só como fica nosso esquema pra a velocidade

Daqui sabemos que v y = v c o s ( α )   α   e   v x = v s e n ( α ) , mas como α + θ = 90 °

s e n   α = cos ⁡ θ  

cos ⁡ α = s e n   θ

v y = v s e n   θ

v x = v c o s   θ

Show, temos tudo para montar nossas equações horárias, se liga aqui!

x = v x t   y = v 0 y t + g 2 t 2  

(Usando a eq. Vertical)

2 =   4,43 . s e n 48,19 °   t + 4,9 t 2

4,9 t 2 + 3,3 t - 2 = 0

a = 4,9

b = 3,3

c =   - 2

t = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

= 0,38 s

(Aplicando o tempo encontrado na eq. Horizontal)

x = 4,43 c o s 48,19 °   .   0,38

= 1,13   m

Passo 2

Opa, mas essa é a distância a partir do início da queda e não do iglu! Cuidado aí, rsrs. Pra calcular a distância real precisamos ver qual é a distância do ponto inicial pro final do iglu.

Queremos a distância verde, que é o raio do iglu menos a distância vermelha

d v e r d e = h 0 - h 0 cos ⁡ α

= h 0 - h 0 s e n θ

= 3     1 - s e n 48,9 °

= 0,76   m

Finalmente pra matar a questão a distância do ponto de queda pro iglu é

d = 1,13 - 0,76 = 0,37   m

Resposta

a )   2   m

b )   0,37   m

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