Enunciado

Um bloco de massa M é amarrado na extremidade inferior de uma corda de massa m e comprimento L . Uma força F → constante é aplicada de baixo para cima na extremidade superior da corda, fazendo com que o bloco e a corda sejam acelerados para cima. Ache a tensão na corda a uma distância x da sua extremidade superior, onde x pode ter qualquer valor entre 0 e L .

Passo 1

Oi, galerinha! A situação que temos é de um bloco de massa M sendo erguido por uma corda de massa m e de comprimento L .

O enunciado diz que uma força F → constante é aplicada de baixo para cima na extremidade superior da corda, fazendo com que o bloco e a corda sejam acelerados para cima.

Queremos encontrar a tensão T na corda a uma distância x da sua extremidade superior, onde x pode ter qualquer valor entre 0 e L .

Para isso, devemos aplicar a segunda lei de Newton para a corda+bloco para encontrar uma aceleração.

Lembrando que essa Lei é dada da seguinte forma:

∑ F = m a

Onde ∑ F é a força resultante, m é a massa e a é a aceleração.

Passo 2

Vamos desenhar um sisteminha do que está acontecendo:

No topo da corda, temos que: T = F ;

Na parte inferior da corda, temos que: T = M ( g + a )

Onde, g é a aceleração da gravidade e a é aceleração com que o bloco é puxado para cima.

Bora seguindo!

Passo 3

Vamos considerar a corda e o bloco como um único objeto, a fim de calcular a aceleração.

Vamos esboçar um diagrama de corpo livre para enxergarmos melhor e então, aplicaremos a segunda lei de Newton sobre esse objeto:

Passo 4

Pela segunda lei de Newton, temos:

∑ F y = m a y

Substituindo as forças que estão atuando no corpo:

F - M + m g = M + m a

⇒ a = F M + m - g

Passo 5

Agora vamos considerar as forças em uma seção da corda que se estende a distância x < L abaixo do topo.

A tensão na parte inferior desta seção é T ( x ) e a massa é m x L .

E então, vamos esboçar o diagrama de corpo livre dessa situação:

E vamos aplicar a segunda lei de Newton:

∑ F y = m a y

F - T x - m x L g = m x L a

⇒   T x = F - m x L g - m x L a

Passo 6

Vamos usar a equação da da aceleração que encontramos e combina-la com esta ultima:

⇒ T x = F 1 - m x L M + m

Para x = 0 : A expressão fornece o valor correto de T = F .

Para x = L : A expressão fica T = F M M + m )   ⇒ T = M ( g + a ) , e quando usamos a expressão para a vemos que isso acontece.

Resposta

T x = F 1 - m x L M + m

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