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Um bloco de massa m deslizando sobre uma mesa sem atrito está preso a um fio que passa por um pequeno furo através do centro da mesa. O bloco desliza com rapidez v 0 em um círculo de raio r 0 . Determine (a) a quantidade de movimento angular do bloco, (b) a energia cinética do bloco e (c) a tensão no fio. (d) Um estudante, sob a mesa, puxa agora lentamente o fio para baixo. Qual é o trabalho necessário para reduzir o raio do círculo de r 0 para r 0 / 2 ?

Passo 1

(a) Vamos calcular o momento angular sabendo que a velocidade do bloco é perpendicular ao vetor posição que liga o centro da mesa ao bloco:

E nesses casos, sabemos que o momento angular pode ser escrito como:

L = m r 0 v 0

Passo 2

(b) Já que temos a rapidez v 0 do bloco, e a massa m , a energia cinética é simplesmente:

K = 1 2 m v 0 2

Passo 3

(c) A tensão no fio deve cumprir o papel de resultante centrípeta que mantém a trajetória circular de raio r 0 :

T = F c

E lembrando da fórmula para a força centrípeta:

T = m v 0 2 r 0

Passo 4

(d) Agora queremos calcular o trabalho necessário para reduzir o raio do círculo pela metade. Sabemos que o trabalho é igual à variação de energia cinética:

W = Δ K = K f - K 0

E para facilitar o cálculo podemos escrever a energia cinética em termos do momento angular:

K = L 2 2 I

Como o torque da força exercida pelo estudante através do fio é nula (já que τ → = r → × F → , e nesse caso F → é paralelo a r → ), então o momento angular é conservado:

L f = L o

Δ K = L 0 2 2 1 I f - 1 I 0

Quando o raio da trajetória circular é r 0 , o momento de inércia é:

I 0 = m r 0 2

E quando o raio é reduzido pela metade:

I f = m r 0 2 2 = 1 4 m r 0 2

Substituindo isso na nossa equação:

Δ K = L 0 2 2 4 m r 0 2 - 1 m r 0 2

Δ K = 3 L 0 2 2 m r 0 2

E agora é só substituir com o L 0 que calculamos no passo 1 :

Δ K = 3 m r 0 v 0 2 2 m r 0 2 = 3 2 m v 0 2

Resposta

(a) L = m r 0 v 0 .

(b) K = 1 2 m v 0 2 .

(c) T = m v 0 2 r 0 .

(d) Δ K = 3 2 m v 0 2 .

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