Enunciado

Uma massa pontual de 0,20   k g se movendo em uma superfície horizontal sem atrito está preso a uma tira elástica que tem a outra extremidade fixa no ponto P . A tira elástica exerce uma força de magnitude F = b x , onde x é o comprimento da tira e b é uma constante desconhecida. A força da tira elástica aponta para P . A massa se move ao longo da linha pontilhada na figura abaixo. Quando ela passa pelo ponto A , sua velocidade é 4,0   m / s , com a orientação mostrada; A distância A P é de 0,60   m e B P é 1,0   m . (a) Encontre a rapidez da massa nos pontos B e C . (b) Encontre b .

Passo 1

A fórmula para o momento angular da massa em qualquer ponto da trajetória é:

L = m r v

E o momento angular se conserva, já que não temos nenhum torque externo resultante.

Se aplicarmos essa equação entre os pontos A e B já podemos encontrar a rapidez v B :

m r A v A = m r B v B

r A v A = r B v B

v B = v A r A r B

v B = 4,0 0,60 1,0 = 2,4   m / s

Passo 2

(b) Agora vamos pensar na energia do sistema. Em cada ponto a massa terá certa energia cinética, e certa energia potencial elástica:

E = 1 2 m v 2 + 1 2 b x 2

Sabemos que a energia deve se conservar nesse sistema, então podemos comparar qualquer par de pontos para encontrar a constante b :

Δ E = E A - E B = 0

1 2 m v A 2 + 1 2 b r A 2 - 1 2 m v B 2 + 1 2 b r B 2 = 0

Multiplicando tudo por 2 :

m v A 2 + b r A 2 - m v b 2 - b r b 2 = 0

E isolando b :

b = m v B 2 - v A 2 r A 2 - r B 2

b = 0,20 2,4 2 - 4,0 2 0,60 2 - 1,0 2

b = 3,2   N / m

Resposta

(a) v B = 2,4   m / s e v C = 4,0   m / s .

(b) b = 3,2   N / m .

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