Enunciado

Com um bloco de massa m e duas molas, de constantes elásticas k 1 e k 2 , montam-se dois arranjos indicados nas Figuras (a) e (b). Calcule as respectivas frequências angular ω a e ω b de pequenas oscilações verticais em torno do equilíbrio.

Passo 1

(a) Vamos começar pensando nas forças que agem sobre o primeiro bloco.

∑ F = m a = - k 1 x - k 2 x + m g

Onde definimos que a coordenada x é positiva para baixo:

Então:

m x ¨ = - k 1 + k 2 x + m g

x ¨ + k 1 + k 2 m x = m g

Essa é a equação de um oscilador harmônico com a seguinte frequência angular:

ω a = k 1 + k 2 m

Passo 2

Quando as duas molas estão acopladas, a situação fica um pouco mais complicada. Vamos chamar de x 1 e x 2 os deslocamentos de cada uma delas:

O deslocamento resultante do bloco vai ser dado pela soma desses dois deslocamentos:

x r = x 1 + x 2

E as forças devem ser iguais ao longo de toda a mola:

F 1 = F 2 = F r e s u l t a n t e

Além disso, pela lei de Hooke, temos que:

x 1 = F 1 k 1           ;           x 2 = F 2 k 2           ;           x r = F r k r

Onde k e q é a constante elástica da mola resultante da junção das outras duas.

Substituindo essas últimas equações na primeira:

F r k r = F 1 k 1   + F 2 k 2

E usando o resultado da segunda equação:

1 k r = 1 k 1   + 1 k 2

Outra forma de escrever isso é:

k r = k 1 k 2 k 1 + k 2

Então a frequência angular nesse caso é:

ω b = k m = k 1 k 2 m k 1 + k 2

Resposta

A frequências angulares são ω a = k 1 + k 2 m e ω b = k 1 k 2 m k 1 + k 2 .

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