Enunciado

Um bloco de massa m parte do repouso a uma altura h e escorrega para baixo sobre um plano sem atrito inclinado de um ângulo θ com a horizontal, como mostra a figura. O bloco atinge uma mola de constante de força k . Determine de quanto a mola é comprimida até o bloco parar momentaneamente.

Passo 1

Vamos aplicar a conservação de energia entre dois instantes: o primeiro quando o bloco está parado no topo da altura h , e o segundo quando está parado no ponto de máxima compressão da mola.

Perceba que nesses dois pontos a energia cinética é zero. E vamos definir o zero da nossa energia potencial gravitacional como sendo a altura do ponto de máxima compressão da mola.

Passo 2

Então inicialmente, quando o bloco tem apenas energia potencial gravitacional, a energia mecânica total do sistema é:

E 0 = m g h = m g L + x sen ⁡ θ

Mais tarde, quando a mola tiver sido comprimida por uma distância x , a energia mecânica do sistema será:

E f = 1 2 k x 2

Já que não haverá mais energia potencial gravitacional, e nem cinética.

Passo 3

Pela conservação de energia:

E 0 = E f

m g L + x sen ⁡ θ = 1 2 k x 2

E nosso objetivo é encontrar x , então vamos reescrever:

1 2 k x 2 - m g sen ⁡ θ x - m g L sen ⁡ θ = 0

E resolvendo essa equação do segundo grau:

x = m g sen ⁡ θ ± m g sen ⁡ θ 2 - ( 4 ) ( k x 2 / 2 ) ( - m g L sen ⁡ θ ) k

E então:

x = m g sen ⁡ θ k ± m g k 2 sen 2 ⁡ θ + 2 m g L k sen ⁡ θ

E podemos excluir a raiz negativa e substituir a expressão que criamos para L :

x = m g sen ⁡ θ k + m g k 2 sen 2 ⁡ θ + 2 m g h cot ⁡ θ k sen ⁡ θ

Resposta

A distância pela qual a mola é comprimida até parar completamente é x = m g sen ⁡ θ k + m g k 2 sen 2 ⁡ θ + 2 m g h cot ⁡ θ k sen ⁡ θ .

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