Enunciado

Um bloco de massa m repousa em um plano inclinado a um ângulo θ com a horizontal (veja a figura). Uma mola com constante de força k está presa ao bloco. O coeficiente de atrito estático entre o bloco e o plano é μ s . A mola é puxada para cima ao longo do plano de forma muito lenta. (a) Qual é a extensão da mola no instante que o bloco começa a se mover? (b) O bloco para de se mover assim que a extensão da mola atinge zero. Expresse μ k (o coeficiente de atrito cinético) em termos de μ S e θ .

Passo 1

(a) Existem três forças agindo sobre o bloco: o atrito e o peso ( P x ) o puxam para baixo, e a força transmitida pela mola puxa para cima. Vamos representa isso em uma equação:

∑ F x = F m o l a - F a t - m g sen ⁡ θ

E no instante em que o objeto começa a se mover, essas forças tem que se anular, pois a aceleração é muito próxima de zero:

F m o l a - F a t - m g sen ⁡ θ = 0

E vamos chamar de d a extensão da mola nesse instante:

k d - μ e s t N - m g sen ⁡ θ = 0

d = μ e s t N + m g sen ⁡ θ k  

E nós sabemos que, em um plano inclinado, a força normal é igual à componente do peso que é perpendicular ao plano, então:

d = μ e s t m g cos ⁡ θ + m g sen ⁡ θ k = m g k μ e s t cos ⁡ θ + sen ⁡ θ

Passo 2

(b) Vamos pensar na variação de energia entre os instantes final e inicial do movimento do bloco:

Δ U g + Δ U m o l a + Δ K + E d i s s = 0

Como o bloco está parado no início e no final do movimento, a variação de energia cinética é Δ K = 0 .

Para as outras variações de energia podemos escrever as expressões de sempre

m g h + - 1 2 k d 2 + F a t d = 0

m g   d sen ⁡ θ - 1 2 k d 2 + μ c i n   m g cos ⁡ θ   d = 0

Dividindo tudo por d :

m g μ c i n cos ⁡ θ + sen ⁡ θ - 1 2 k d = 0

E substituindo com a expressão para d que encontramos no passo anterior:

m g μ c i n cos ⁡ θ + sen ⁡ θ - 1 2 k m g k μ e s t cos ⁡ θ + sen ⁡ θ = 0

μ c i n cos ⁡ θ + sen ⁡ θ - 1 2 μ e s t cos ⁡ θ + sen ⁡ θ = 0

E queremos isolar o coeficiente de atito cinético μ c i n :

μ c i n cos ⁡ θ + sen ⁡ θ = 1 2 μ e s t cos ⁡ θ + sen ⁡ θ

μ c i n = 1 2 μ e s t - 1 2 tan ⁡ θ

μ c i n = 1 2 μ e s t - tan ⁡ θ

Resposta

(a) d = m g k μ e s t cos ⁡ θ + sen ⁡ θ .

(b) μ c i n = 1 2 μ e s t - tan ⁡ θ .

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