Enunciado

A bolinha de um pêndulo de massa m está presa a uma mola leve de comprimento L e também está presa a uma mola com constante de força k . Com o pêndulo na posição mostrada na figura, a mola está no seu comprimento não-comprimido. Se a bolinha é puxada para o lado de forma que a corda faça um pequeno ângulo θ com a vertical e solta, qual é a rapidez do pêndulo conforme ele passa pela posição de equilíbrio? Dica: Lembre das aproximações para ângulos pequenos: se θ é expresso em radianos, e se θ ≪ 1 , então sen ⁡ θ ≅ tan ⁡ θ ≅ θ e cos ⁡ θ ≅ 1 - 1 2 θ 2 .

Passo 1

Quando você puxa o pêndulo para o lado você dá energia potencial gravitacional a ele (porque ele ganha altura) e dá energia potencial elástica para a mola (porque ela é comprimida). Vamos encontrar expressões para essas duas energias:

U = m g h

E a altura que o pêndulo ganha quando é deslocado por um ângulo θ é:

h = L - L cos ⁡ θ = L 1 - cos ⁡ θ

U = m g L 1 - cos ⁡ θ

E a energia potencial elástica é um pouco mais complicada, considerando que o pêndulo não se move exatamente em linha reta. Mas como o ângulo é pequeno, podemos aproximar o arco de círculo por um segmento de reta, então:

U e l = 1 2 k x 2 = 1 2 k L sen ⁡ θ 2

E quando a bolinha passa pelo ponto de equilíbrio, essas duas energias terão sido convertidas inteiramente em metros:

U + U e l = K

Passo 2

Agora vamos usar essa equação para encontrar a rapidez v . Lembrando que K é a energia cinética no ponto de equilíbrio:

U + U e l = K

1 2 k L sen ⁡ θ 2 + m g L 1 - cos ⁡ θ = 1 2 m v 2

Usando as aproximações dadas no enunciado:

1 2 k L θ 2 + m g L 1 - 1 + 1 2 θ 2 = 1 2 m v 2

k L 2 θ 2 + m g L θ 2 = m v 2

Isolando a rapidez:

v 2 = k L 2 θ 2 + m g L θ 2 m

v = L θ k m + g L

Resposta

A rapidez do pêndulo ao passar pelo ponto de equilíbrio é v = L θ k m + g L .

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