Enunciado

Uma bobina retangular de comprimento a e largura b , com N espiras, gira com frequência f na presença de um campo magnético uniforme B → , como mostra a figura 30-38. A bobina está ligada a cilindros metálicos que giram solidariamente a ela e nos quais estão apoiadas nas escovas metálicas que fazem contato com um circuito externo. (a) Mostre que a força eletromotriz induzida na bobina é dada (em função do tempo t ) pela equação

ε = 2 π f N a b B s e n 2 π f t = ε o s e n ( 2 π f t )

Este é o princípio de funcionamento dos geradores comerciais de corrente alternada. (b) para que valor de N a b a força eletromotriz gerada tem uma amplitude ε o = 150   V quando a bobina gira com uma frequência de 60,0 revoluções por segundo em um campo magnético uniforme de 0,500   T ?

Passo 1

Bom, galera, um cara chamado Faraday descobriu que uma força eletrmotriz e uma corrente podem ser induzidas em uma espira fazeno variar a quantidade de campo magnético que atravessa a espira. Ele ainda percebeu que a dita “quantidade de campo magnético” pode ser visualizada em termos das linhas de campo magnético que atravessam a espira.

O número de linhas que atravessam a espira não importa; os valores da força eletromotriz e da corrente induzida são determinados pela taxa de variação desse número. O módulo da força eletromotriz induzida em uam espira condutora é igual à taxa de variação com o tempo do fluxo magnético que atravessa a espira. A expressão para caluclar a força eletromotriz é a seguinte:

ε = - d ϕ B d t

O sinal negativo mostra que a força eletromotriz se opõe à variação do fluxo.

Pessoal, convém chamar atenção para o fato de que o resultado, que está expresso em termos de s e n ( 2 π f t ) , poderia, em vez disso, estar expresso em termos de c o s ⁡ ( 2 π f t ) ou mesmo de c o s ⁡ ( 2 π f t + ϕ ) , em que ϕ é uam constante de fase. A posição angular θ da bobina é medida em relação a uma reta ou pllano de referência e, de acordo com a escolha, o fluxo magnético pode ser dado como B A ,   B A s e n θ   o u   B A c o s ( θ + ϕ ) . Para a referência que foi escolhida, o nosso fluxo magnético será dado por ϕ B = B A c o s θ . Como a bobina está girando com velocidade angular constante, θ aumenta linearmente com o tempo. Assim, θ = 2 π f t , em que θ é o ângulo em radianos e 2 π f a velocidade angular. Como a área de uma bobina retangular é A = a b , a lei de Faraday nos dá:

ε = - N d B A c o s θ d t = - N B A d cos ⁡ 2 π f d t

ε = 2 π f N a b B s e n 2 π f t ,

que é justamente a equação que queríamos demonstrar. No enunciado, a equação também é escrita de outra forma, ε o s e n ( 2 π f t ) , para deixar claro que a fem induzida é senoidal e tem uma amplitude ε o = 2 π f N a b B .

Passo 2

Do enunciado, nós sabemos que ε o = 150   V e do passo anterior temos a expressão para ε o . Vamos igualar as duas e encontrar o valor para N a b !

150   V =   2 π f N a b B

N a b = 150   V 2 π f B = 150   V 2 π ( 60,0   s - 1 ) ( 0,500   T ) = 0,796   m ²

Resposta

  1. Demonstrado no passo 1;
  2. N a b = 0,796   m ² .
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