Enunciado

33. Uma bola de 1,50   k g e outra de 2,0   k g são coladas uma na outra, a mais leve embaixo da mais pesada. A bola de cima é presa mola vertical de constante 165   N / m e o sistema está vibrando verticalmente com uma amplitude de 15   c m . A cola usada para juntar as bolas é velha e fraca, e cede de repente, quando as bolas estão na posição mais baixa de seu movimento. ( a ) Por que é mais provável que a cola ceda no ponto mais baixo e não em qualquer outro ponto do movimento? ( b ) calcule a amplitude e a frequência das vibrações depois que a bola de baixo houver se soltado.

Passo 1

Bem, vamos explicar logo o primeiro item pedido. Quando as bolas se encontram no ponto mais baixo é quando elas tem maior aceleração vertical para cima, já que estamos em um M H S , assim a força nessa direção atingi seu maior valor, então nesse momento a forçada cola deve ser maior para trazer a bola mais abaixo junta com a bola de cima.

Por isso a chance é maior da cola ceder nesse ponto, já que é quando ela deve fazer mais força.

Para achar a amplitude do movimento, vamos fazer uma análise. Quando a bolas são presas a mola elas causam uma deformação na mola até ficar em equilíbrio, podemos achar essa deformação através da segunda lei de Newton, já que só temos a força elástica e peso atuando no sistema. Assim, temos:

k d a = 1,5 + 2 g

⇒ d a = 3,5 9,8 165

= 0,208   m

Então no ponto mais baixo, a mola é esticada esse valor que achamos mais a amplitude, que é 0,15   m , então no total temos:

0,208 + 0,15 = 0,358   m

Mas quando a bola de 1,5   k g cai, aquela deformação inicial que foi comentada acima, já não é mais a mesma, vamos achar a nova deformação da mesma forma que achamos a antiga, então temos que:

k d d = 2 g

⇒ d d = 2 9,8 165

= 0 , 119   m

Dessa vez não vamos adicionar os 0,15   m como anteriormente, já que essa era amplitude do sistema com duas bolas, para achar a amplitude do sistema com uma bola, basta subtrair o que tínhamos anteriormente ( 0,358   m ) pela deformação que temos agora, então tirando a deformação causada pela bola, só irá nos restar a amplitude, então

0,358 - 0,119 = 0,239   m

Para achar a frequência só teremos que usar a fórmula da frequência para um M H S , que é:

f = 1 2 π k m

As grandezas k e m já são conhecidas, lembrando que a massa vai ser de uma bola só, pois o enunciado quer saber a frequência depois que a outra bola se solta.

Passo 2

Vamos encontrar a frequência então.

f = 1 2 π k m

⇒ f = 1 2 π 165 2

= 1 2 π 82,5

Então nossa frequência é:

f = 1,44   H z

Resposta

( a )

Bem, vamos explicar logo o primeiro item pedido. Quando as bolas se encontram no ponto mais baixo é quando elas tem maior aceleração vertical para cima, já que estamos em um M H S , assim a força nessa direção atingi seu maior valor, então nesse momento a forçada cola deve ser maior para trazer a bola mais abaixo junta com a bola de cima.

Por isso a chance é maior da cola ceder nesse ponto, já que é quando ela deve fazer mais força.

( b )

A = 0,239   m

f = 1,44   H z

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