Enunciado

Uma bola de 2,0   k g está presa a um fio de 1,5   m de comprimento e se move no sentido anti-horário (se vista de cima) em um círculo horizontal (Figura 10-56). O fio forma um ângulo θ = 30 ° com a vertical. (a) Determine as componentes horizontal e vertical da quantidade de movimento angular L → da bola em relação ao ponto de suspensão. (b) Determine a magnitude de d L → / d t e verifique que ela é igual à magnitude do torque exercido pela gravidade em relação ao ponto de suspensão.

Passo 1

a) Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão. Temos uma bolinha girando em torno de um eixo e sua corda de l = 1,5   m faz θ = 30 ° com a vertical sempre. Queremos achar as componenetes da sua quantidade de momento angular em relação ao ponto P , onde a bola está presa.

Por definição a quantidade de movimento angular é dada por:

L → = r → × p →

Podemos expressar p → por:

p → = m v →

Logo:

L → = r → × m v →

L → = m r → × v →

Aí a gente precisa achar r → e v → , ok?

Passo 2

Vamos começar achando r → . Ele é o vetor que sai da origem (o ponto P ) e vai até a nossa bolinha. Só que repara que a bolinha está se movendo, então esse vetor não vai ter suas coordenadas constantes, mas vai depender do tempo t .

Outra coisa é que se o vetor começa na origem, as componentes dele são iguais as coordenadas do seu ponto final, ou seja, basicamente vamos escrever a posição da bolinha em relação ao tempo, ok?

Vamos achar cada componente. A componente y vai ser a projeção da corda em y , então:

y = - l cos ⁡ θ = - 1,5 cos ⁡ 30 °

Ela é negativa porque a bolinha está em uma altura negativa em relação a origem. Agora vamos para x e z . Cara, percebe que em relação ao plano x z   (visto de cima), a trajetória da bolinha é circular, porque ela fica girando em torno de y ? Beleza.

Aí agora eu vou te dar um bizu, tá? Se a gente tem um movimento circular em sentido anti-horário em um plano e quer uma função de t para o posição da partícula que está fazendo o movimento, usamos essa expressão:

Onde R é o raio da trajetória e ω a velocidade angular da partícula.

O raio da tratejória para gente é a projeção da corda no plano z x :

R = l   s e n   θ = 1,5   s e n   30 °

Aí nossas componentes ficam

z = 1,5   s e n   30 °   s e n ( ω t )

x = 1,5   c o s   30 °   c o s ( ω t )

Então, por equanto, nosso vetor fica

r → = 1,5   c o s   30 °   c o s ω t i ^ + 1,5   s e n   30 °   s e n ω t j ^ - 1,5 cos ⁡ 30 ° k ^

Repara que a gente colocou k ^ na componente de y , porque no nosso sistema ele é o eixo vertical, tudo bem? E os horizontais são x e z , por isso z ficou com j ^ .

Podemos expressar o vetor posição como:

r → = 1,5   m sin ⁡ 30 ° cos ⁡ ω t i ^ + sin ⁡ ω t j ^ - 1,5   m cos ⁡ 30 ° k ^

Passo 3

Aí para achar o vetor velocidade, vamos lembrar que

v → = d r → d t

Então a gente vai derivar cada componente do nosso vetor posição e achar

v → = d 1,5   m sin ⁡ 30 ° cos ⁡ ω t i ^ + sin ⁡ ω t j ^ - 1,5   m cos ⁡ 30 ° k ^ d t

v → = ( 0,75 ω   m / s ) ( - sin ⁡ ω t i ^ + cos ⁡ ω t j ^ )

Percebe que não há componenete k ^ porque ela era constante em r → . Aí a derivada da constante é zero.

Passo 4

Falta achar ω , né? Vamos olhar fazer um diagrama de corpo livre

Aplicando as equações de equilíbrio

∑ F y = T cos ⁡ θ - m g = 0

Agora repara que a componente horizontal da tensão funciona como uma força centrípeta para a partícula, então na direção dessa força (vamos chamar de direção axial), temos uma aceleração, a aceleração centrípeta. O equilíbrio fica

∑ F a x i a l = T sin ⁡ θ = m a c e n t r

Mas lembra que essa aceleração tem uma expressão

a c e n t r = v 2 R

Mas já vimos quando vale esse raio para o nosso movimento circular:

a c e n t r = v 2 l   s e n   θ

Então o equilíbrio fica

∑ F a x i a l = T sin ⁡ θ = m a c e n t r

∑ F a x i a l = T sin ⁡ θ = m v 2 l   s e n   θ

Passo 5

Relacionando as duas equações de equilíbrio que fizemos acima, temos:

∑ F y = T cos ⁡ θ - m g = 0 → T = m g cos ⁡ θ

∑ F a x i a l = T sin ⁡ θ = m v 2 l   s e n   θ → T = m v 2 l   s e n   θ   s e n   θ

Igualando essa duas expressões e isolando v

m g cos ⁡ θ = m v 2 l   s e n   θ   s e n   θ

v = l g sin ⁡ θ tan ⁡ θ

v = ( 1,5   m ) ( 9,81   m / s 2 ) sin ⁡ 30 ° tan ⁡ 30 °

v = 2,06   m / s

Passo 6

Só que em é esse v ? Lembra que ele veio da fórmula da aceleração centrípeta? Cara, ele é a velocidade do nosso movimento circular. Então a partir dele conseguimos a velocidade angular!

ω é dado por:

ω = v R

ω = 2,06   m / s 1,5   m s e n ⁡ 30 °

ω = 2,75   r a d / s

Portanto:

v → = ( 0,75 ⋅ 2,75   m / s ) ( - sin ⁡ ω t i ^ + cos ⁡ ω t j ^ )

v → = ( 2,0625   m / s ) ( - sin ⁡ 2,75 t i ^ + cos ⁡ 2,75 t j ^ )

E

r → = 1,5   m sin ⁡ 30 ° cos ⁡ 2,75 t i ^ + sin ⁡ 2,75 t j ^ - 1,5   m cos ⁡ 30 ° k ^

Passo 7

A quantidade de movimento angular será:

L → = m r → × v →

L → = 2   k g 1,5   m sin ⁡ 30 ° cos ⁡ 2,75 t i ^ + sin ⁡ 2,75 t j ^ - 1,5   m cos ⁡ 30 ° k ^ × ( 2,0625   m / s ) ( 2,0625   m / s ) ( - sin ⁡ 2,75 t i ^ + cos ⁡ 2,75 t j ^ )

L → = 5,35 cos ⁡ 2,75 t i ^ + sin ⁡ 2,75 t j ^ + 3,09 k ^

A componente horizontal, é a componente que tem i ^ e j ^

L → h o r = 5,35 cos ⁡ 2,75 t i ^ + sin ⁡ 2,75 t j ^

A componente vertical, é a componente em y , a que tem k ^ :

L → v e r = 3,09 k ^

Passo 8

Item (b):

Vamos calcular d L → / d t :

d L → d t = d d t [ 5,35 cos ⁡ 2,75 t i ^ + sin ⁡ 2,75 t j ^ + 3,09 k ^ ]

d L → d t = 5,35 ( 2,75 ) - sin ⁡ 2,75 t i ^ + cos ⁡ 2,75 t j ^

Tirando o módulo, para achar a magnitude disso, temos:

d L → d t = 5,35 2,75 - sin ⁡ 2,75 t 2 + 5,35 2,75 cos ⁡ 2,75 t 2

Podemos colocar 5,35 2,75 2 em evidência e tirar da raiz. Aí ficamos com a soma dos quadrados de seno e cosseno que dá um pela relação fundamental trigonométrica:

d L → d t = 5,35 2,75 - sin ⁡ 2,75 t 2 + cos ⁡ 2,75 t 2

d L → d t = 5,35 2,75 1

d L → d t = 15   N ⋅ m

Passo 9

Agora temos que descobrir o valor do torque exercido pela gravidade e comparar com o valor de d L → d t , para ver se o enunciado é verdadeiro.

O torque é dado por:

τ = P   l sin ⁡ θ

τ = m g l sin ⁡ θ

Isso porque o braço de alavanca do peso P é a projeção da corda na horizontal. Substituindo os dados:

τ = ( 2   k g ) ( 9,81   m / s 2 ) ( 1,5   m ) sin ⁡ 30 °

τ = 15   N ⋅ m

E é igual mesmo ao valor que achamos no passo anterior.

Ufa! Acabamos!

Resposta

a ) L → h o r = 5,35 cos ⁡ 2,75 t i ^ + sin ⁡ 2,75 t j ^

L → v e r = 3,09 k ^

b ) d L → d t = 15   N ⋅ m

τ = 15   N ⋅ m

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